¿Qué es una Demostración Matemática?


Uno de los primeros impactos que recibe un alumno de Primero de Matemáticas nada más pisar la universidad es que, de repente, pasa de tratar con unas matemáticas que en la mayoría de los casos se limitan a relatar métodos de resolución que uno simplemente se cree y a aplica, a otras muy diferentes en las que se exige que cada afirmación que se haga vaya acompañada de su correspondiente demostración. Y no sólo esto, sino que se exige que el alumno realice demostraciones por sí mismo, cosa que tenga uno el nivel previo que tenga, siempre es difícil de aprender.

Una foto de las caras de los alumnos de Análisis Matemático I cuando en las primeras clases el profesor demuestra en la pizarra que  1 es mayor que 0  desde luego no tendría precio. Sin embargo, cuando uno avanza en la carrera, termina convirtiéndose en una especie de profesional del escepticismo y ya no es capaz de dormir tranquilo cuando alguien tiene la osadía de explicarle algo argumentando simplemente que eso es así.

La necesidad de demostrarlo todo

Habitualmente, cuando alguien piensa en las matemáticas (a veces ocurre), la idea general que se hace acerca de ellas es que son un conjunto de reglas que nos permiten encontrar soluciones a determinados problemas matemáticos. Por supuesto que esta idea acerca de las matemáticas no es incorrecta, pero sí incompleta.

El matiz está en que si uno encuentra una forma de resolver un problema, no puede contentarse sólo con comprobar que ésta funciona para una serie determinada de casos, sino que debe asegurarse de que la teoría que ha desarrollado se cumplirá en cualquier otra situación de la misma naturaleza.

Y más aún, también debe comprobar que ese método de resolución no entra en contradicción con otras partes de las matemáticas, pues no tendría sentido que para resolver un problema se tire por tierra la resolución de otros. Estaremos de acuerdo en que, si esto ocurriera, no habría manera de construir una teoría matemática de un modo coherente.

No me creo ná de ná

Es por esto que en matemáticas no basta con encontrar enunciados  que permitan resolver algún problema, sino que además se exige que cualquier afirmación que se haga debe ser demostrable y, por supuesto, demostrada.

Demostrar una afirmación consiste básicamente en comprobar que es coherente con las reglas lógicas que hacen funcionar toda la teoría matemática, y que no contradice ninguna otra afirmación que previamente se haya demostrado que es cierta. Utilizando una terminología más formal, cuando decimos que las afirmaciones en matemáticas han de ser demostrables y que no puede haber afirmaciones contradictorias,  estamos diciendo, respectivamente, que la matemáticas han de ser han de ser completas y consistentes.

En cierta forma, los matemáticos son unos auténticos desconfiados que no se creen nada de lo que les dicen, a no ser que se pueda demostrar de una forma irrefutable. Desde luego que esta no es una característica exclusivamente  suya,  de hecho está en la propia naturaleza del método científico el cuestionárselo todo y exigir pruebas que confirmen que lo que uno afirma funciona y tiene sentido, pero la necesidad de demostrar hasta lo que nos pueda parecer insignificante cobra en las matemáticas una importancia fundamental. De hecho, son tan desconfiados, que la propia afirmación que me he atrevido a hacer antes (las matemáticas son completas y consistentes) fue también objeto de estudio. Y, para sorpresa de todos,  Kurt Gödel demostró que no es completamente cierta, aunque  este tema mejor lo dejaremos para otra ocasión.

Teoremas y Axiomas

Todas las teorías matemáticas tienen una estructura muy característica que permiten cumplir con las condiciones de completitud y consistencia. Esta estructura tiene dos componentes fundamentales: los teoremas y los axiomas.

Un teorema es una afirmación matemática demostrada, que funciona, y que nos sirve como herramienta para demostrar otros teoremas. Así, partiendo de algo que sé que es cierto, puedo demostrar otras afirmaciones que, a su vez, cuando esté seguro de que son ciertas, me servirán para demostrar otras nuevas y así sucesivamente.

Veamos este proceso con un ejemplo muy sencillo. Imaginemos que queremos ir de Sevilla a Córdoba, y que para eso tenemos que coger un tren que tarda una hora en llegar. Son las cuatro de la tarde, y quiero llegar a las cinco y media. Si el tren sale a las cuatro y media y vuelve desde Córdoba nada más llegar,  ¿llegaré a tiempo? Utilizando el teorema “el tren tarda una hora en llegar a Córdoba”, vemos enseguida que la respuesta es sí. Por tanto, la afirmación “llegaré a Córdoba a las cinco y media” ya no es una pregunta: se ha convertido en un teorema (una afirmación verdadera). Si ahora me hago la pregunta ¿podré estar de vuelta en Sevilla a las seis y cuarto?, utilizamos este nuevo teorema junto con el primero y deducimos que no, porque como muy pronto podré llegar a Sevilla a las seis y media. Hemos encontrado un tercer teorema que dice “no puedo estar de vuelta en Sevilla a las seis y cuarto”.

Pero claro, esta cadena de demostraciones debe tener un principio, es decir, para empezar a demostrar teoremas necesariamente habrá alguno que deberá ser el primero, y por lo tanto no podremos deducirlo de otros. Pues bien, las afirmaciones matemáticas que se utilizan para comenzar a demostrar otras sin necesidad de una demostración previa son los denominados axiomas. Un axioma es lo único que un matemático acepta como verdad sin pedir explicaciones, y toda teoría matemática comienza siempre enunciando un conjunto de axiomas a partir de los cuales se van deduciendo todos los teoremas que la construyen.

Un sistema axiomático

Aunque hay una gran cantidad de axiomas en matemáticas, quizá los más célebres son los Axiomas de Euclides, que forman la base de toda la Geometría Clásica que conocemos desde la enseñanza básica. Éstos son cinco que enunció el propio Euclides:

1. Dados dos puntos, se puede trazar una recta que los une.

2. Se puede prolongar cualquier segmento para que forme una recta en su misma dirección.

3. Se puede trazar una circunferencia con su centro en cualquier punto y con cualquier radio.

4. Todos los ángulos rectos son iguales.

5. Por un punto externo a una recta pasa una única recta paralela a ésta.

Y estos los dos que se añadieron posteriormente (aunque en descargo del propio Euclides hay que decir que los matemáticos tardaron muchísimo tiempo en darse cuenta) :

6. Dos circunferencias cuyos centros estén a una distancia menor que sus radios se cortan en dos puntos.

7. Dos triángulos con dos lados iguales y dos ángulos comprendidos también iguales son congruentes.

Partiendo de estas siete afirmaciones, podemos deducir todos los teoremas que forman la Geometría Euclídea, como por ejemplo que la suma de los ángulos de un triángulo da siempre 180 grados.

Cómo pasar del Fútbol al Rugby modificando un axioma

Los axiomas, por su propia naturaleza, son las verdades absolutas de las que se parte para crear una teoría, pero esto no significa que sean intocables. Un conjunto determinado de axiomas forman la base de una teoría determinada, pero si se modifica uno de ellos, aunque sea mínimamente, podemos construir otra teoría completamente nueva en la que las reglas serán diferentes.

Un ejemplo de esto lo tenemos en el mundo del deporte. Según la tradición del Rugby, en 1823 durante un partido de fútbol William Webb Ellis, harto de darle patadas al balón, lo cogió con las manos y lo llevó hasta la línea de gol. Mr. Ellis había modificado una de las reglas del fútbol (un axioma), que dice que “no se puede tocar el balón con la mano”, cambiándola por otra que dice “el balón puede ser jugado con las manos o con los pies indistintamente”. El resultado fue espectacular, pues a todo el mundo le pareció  muy interesante la posibilidad de agarrar el balón con los brazos y lanzarse contra una masa de contrarios dispuestos a aplastarlo contra el suelo.

Pero había una cosa clara: aquello ya no era fútbol, era algo completamente nuevo y distinto. Lo que hizo el bueno de Ellis fue inventar el rugby, deporte apasionante y por desgracia no muy seguido en nuestro país.

Pues lo mismo se puede hacer en matemáticas. Y de hecho, en las matemáticas modernas es algo que ocurre con frecuencia y que ha permitido el desarrollo de disciplinas completamente nuevas, como por ejemplo, la que se obtiene al modificar el quinto axioma de Euclides para que diga “por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela a ésta”. Lo único que hay que tener en cuenta es que todos los teoremas que deduzcamos utilizando este nuevo axioma tienen que ser coherentes con él y con todos los demás, y si esto ocurre, la nueva teoría será completamente válida.

Por cierto, mediante esta simple modificación se obtiene una geometría completamente nueva, que funciona perfectamente y en la que no existen las rectas paralelas. Esta teoría se conoce como Geometía Esférica o de Riemann, con propiedades distintas de la de Euclides y con muchas aplicaciones en ingeniería, topografía, cartografía, y otras muchas cosas que acaban en -ía.

Un  ejemplo para terminar

Terminemos nuestra explicación sobre demostraciones con un ejemplo.

Ya que lo hemos mencionado, demostremos que 1>0 (y se lo dedico al que fue mi profesor de Análisis Matemático I, D. José Carmona, de la Universidad de Sevilla, que muy probablemente no se acordará de mí pero que fue de quién aprendí a demostrar proposiciones).

Lo primero es situarnos. Estamos estudiando el conjunto de los números reales, que para entendernos lo forman cualquier tipo de número que se nos ocurra (excepto los complejos), como el 4, el -3, el 14’27, el 18/33 o el 0,232442355424656521489495402345734852…

Y sabemos además que en los números reales se cumplen los siguientes axiomas:

1. El 0 es distinto del 1.

2. Si tengo dos números a y b tales que a>b, al multiplicarlos por un tercer número c que sea menor que 0, ocurre que se invierte el sentido de la desigualdad, y así queda a·c<b·c. Un ejemplo con números: tenemos que 3>2, pero si multiplicamos ambos por -1, se invierte el sentido de la desigualdad y queda -3<-2.

Una vez situados vamos a plantear el problema. Queremos saber si es cierto que 1>0. Una buena técnica para hacerlo será ver qué ocurriría si lo cierto fuese lo contrario, es decir, si fuera 1<0 (esta técnica de demostración se llama reducción al absurdo y merecerá un artículo propio más adelante).

Pues venga,  supongamos que 1<0 . Si multiplicamos esta desigualdad por un número menor que cero, por ejemplo c, por el segundo axioma la desigualdad deberá quedar c·1>0·c. Como el axioma nos permite que el número c sea cualquiera, nada nos impide elegir en particular el propio 1, ya que hemos supuesto es menor que cero. Así pues, multiplicando 1<0 por 1,cambiará el sentido de la desigualdad y quedará que 1>0.

¿Qué ha pasado? Pues que hemos probado que si uno fuese menor que cero, también debería de ser uno mayor que cero. Como la única posibilidad de que un número sea a la vez mayor y menor que otro es que ambos números sean exactamente el mismo, obtenemos que 1=0 (no queda otra, piénsenlo bien). Pero esto contradice el primer axioma, que dice que 1 es distinto de cero, por lo que es imposible que en la teoría de los números reales, que es en la que estamos, sea cierto que 1=0, y por tanto, la suposición de la que hemos partido (1<0) debe ser necesariamente falsa. Así, sólo nos queda una posibilidad, y es que sea 1>0.

No se preocupen, yo puse la misma cara de póquer la primera vez que lo ví.

Sevilla, Noviembre de 2009

Lo publicó Javier Oribe en  El Máquina de Turing.

Aprenda a demostrar por inducción en Tito Eliatron Dixit.

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11 comentarios

  1. Genial! Gran artículo de divulgación, creo que cualquier persona con un mínimo de paciencia, independientemente de su formación previa al respecto, puede sacar algo en claro de aquí. Te animo a seguir en esta línea!!

    1. Gracias!

      El esfuerzo que hay que hacer para simplificar así los conceptos es bastante mayor de lo que parece, así que agradezco mucho tu comentario.

      Un saludo.

      1. Muy interezante el articulo.
        Pero segun entendi, Lo que le dijiste al compañero diste el ejemplo bien simplificado, Como es la propia demostracion.

        Bien bueno, entendi muchas cosas muchas gracias saludos

  2. Muchisimas gracias por este articulo! Lo encuentro muy interesante y sencillo como me gusta. Capte lo que trato de decir. No sabe cuanto se lo agradezco!

  3. Hola blogero:

    Una observación: he comprendido que las demostraciones se hacen empleando teoremas validados según los axiomas que se toman como referencia. E igualmente he entendido que los axiomas se pueden cambiar al libre albedrío del señor (o señora) que hace la demostración, pero que una vez enunciados no son… “negociables”.

    Entonces la pregunta metafisica que me planteo es… ¿Hay algo que no sea demostrable? El hecho de poder modificar los axiomas al antojo del que demuestra es como darle poder para modificar a su antojo las normas básicas que rigen el universo. Es como darle la potestad de crear tantas “realidades” como su mente sea capaz de organizar, en las que todo lo que uno quiera sea demostrable.

    Y a estas alturas del razonamiento, empiezo a estar bastante seguro de que mi cuerpo sirve de pila en alguna colmenta de cuerpos sumergidos en líquido amniótico conectados mediante cables a algún tipo de licuadora…

    Ea, a seguir bien ^_^

    1. P.D. ¿Por qué me sale esa cara tan fea?

    2. Hola, Juan.

      Tu observación es muy interesante, y tanto que me viene al pelo para soltar una frase hecha que utilizo con mis alumnos cuando me preguntan algo que es demasiado avanzado como para explicarlo en dos frases: Podría explicártelo, pero después tendría que acabar contigo :D

      Lo primero es concretar que entendemos aquí por “demostrable”. Creo que lo que quieres decir con esto es que algo demostrable es algo que puede comprobarse que es cierto, ¿me equivoco? Pues en lógica matemática algo demostrable es algo que se puede probar que es cierto o falso, mientras que algo no demostrable es aquello que no se puede determinar si es verdadero o no lo es. Es muy diferente, piénsalo bien.

      En el sentido matemático de la palabra, la pregunta que te haces (¿hay algo que no sea demostrable?) ya se la ha hecho mucha gente antes, entre ellas un tal Kurt Gödel que en los años 30 demostró que en un sistema axiomático-deductivo pueden existir proposiciones que no sean demostrables (más o menos), e incluso que bajo ciertas condiciones es seguro que éstas existirán. Es lo que se llama el Teorema de Incompletitud de Gödel, que es a las mates algo parecido a lo que es el Principio de Incertidumbre de Heissemberg a la Física. En definitiva, la respuesta a esta pregunta es “pues va a ser que sí”.

      Sin embargo, si “demostrable” es algo que podemos probar que es cierto, no es verdad que por poder variar axiomas podamos demostrarlo todo, pues si para que algo que no logramos demostrar se vuelva “demostrable” cambiamos un axioma que nos moleste, podremos “demostrarlo”, pero estaremos saliéndonos de la teoría de la que partimos y el resultado tendrá la misma validez que un estudio sobre la literatura eslava del siglo XVI firmado por Belén Esteban. Por lo tanto, en este sentido la respuesta es también “de que sí”, pues no existirá ningún conjunto de axiomas que nos permita demostrar cualquier cosa que se nos antoje.

      Si te das cuenta, esto que propones para demostrarlo todo es exactamente la técnica que utilizan los “magufos” para dar sentido a las barbaridades que sueltan por ahí, por ejemplo, yo digo que la pulserita Pogüer Crême te revitaliza y da vigor porque las ondas circadianas que produce su condensador de fluzo intervienen en tus biorritmos electro magnéticos para equilibrar tu Shin-Shan, es decir: si lo que digo es mentira en la realidad en la que vivo, pues me invento otra y ya está. Es exactamente lo mismo, con la diferencia de que si lo haces en matemáticas nadie te va a hacer ni puñetero caso (por suerte), pero si vendes las pulseritas a 50 euros la unidad no sólo no estás haciendo nada ilegal, sino que encima te forras.

      Otro tema es el que planteas es lo de crear tantas “realidades” como seamos capaces. Eso, técnicamente, sí que se puede hacer, pero serán realidades independientes con reglas diferentes, algo así como “unoversos paralelos” en los que actuaran diferentes leyes de la física. Otra cosa es que hacerlo sirva para algo, pero de todas formas ¿cuándo le importó eso a ningún matemático? :D

      Espero haber resuelto tus inquietudes metafísicas.

      Saludos!

      PD: Lo de la cara es porque a los usuarios no registrados en wordpress o en otras plataformas les sale un dibujo de estos al azar, en lugar de una foto o un gráfico. Podría haber escogido otro tipo de icono, pero éstos son más divertidos.

  4. Una pequeña corrección:

    “… Como la única posibilidad de que un número sea a la vez mayor y menor que otro es que ambos números sean exactamente el mismo, obtenemos que 1=0 …”

    Eso no es correcto. En todo caso deberías haber utilizado “mayor o igual” y “menor o igual”. Trabajando desde un principio con

    “… Como la única posibilidad de que un número sea a la vez mayor o igual y menor o igual que otro es que ambos números sean exactamente el mismo, obtenemos que 1=0 …”

    1. No es necesario utilizar el mayor o igual o menor o igual porque el “o” ya está implícito en la descripción de la situación: si tenemos dos números reales A y B cualesquiera, su relación de orden es A menor que B ó A igual a B ó A mayor que B.

      Además esta expresión es más adecuada para la demostración, pues tenemos que demostrar que 1>0, no que 1 es mayor o igual a 0, y para ello suponemos que es 1<0 y obtenemos que si eso fuera así debería ser también 1=0. Como esto contradice los axiomas de los números reales, que nos dicen que 1 no es igual a 0, concluimos que no es cierto que 1<0.

      Como no puede ser 1 menor o igual a 0, demostramos que 1 es mayor que 0, no mayor o igual a 0, que no es que sea falso, pero es una conclusión más débil que 1>0 en el sentido de que es menos restrictiva, además de menos exacta pues incluye un caso que no se puede dar (1=0).

      Un saludo.

  5. Una explicación muy buena. ¡Muchas gracias!

  6. me ayudo para una exposicion me guto y muy buena al igual que entendible

Si tiene algo que decir, éste es el momento

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