Completando la colección: cromos de béisbol, enfermedades y denegación de servicio

OPINIÓN por JOHN ALLEN PAULOS
2 de Octubre de 2011

Lanzar un dado hasta que salen los seis números, tener hijos hasta tener uno de cada sexo y completar la colección de cromos de béisbol son tres ejemplos de un cierto tipo de tareas compartimentadas.

Para completar una tarea de este tipo es necesario realizar varias subtareas. Si las probabilidades de realizar esas varias tareas son las mismas, con algunas matemáticas relativamente sencillas podemos hacernos una idea de cómo de larga o extensa será la tarea completa.

Para ilustrar esto comencemos con un dado. ¿Cuántas veces tiene que lanzarlo como término medio hasta que cada uno de los seis números aparece por lo menos una vez?

Las matemáticas de completar colecciones

Para contestar esta pregunta se necesitan un par de ideas, alguna de ellas bastante sencilla.

Suponga que la probabilidad de que ocurra algún suceso o resultado de interés y que las repeticiones de los intentos de obtener el resultado no afectan a la probabilidad de intentos posteriores. Entonces se puede probar que, como media, necesitaremos 1/p intentos para obtener el resultado.

Esto así suena complicado, así que volvamos al ejemplo del dado. Como lanzar un dado genera aleatoriamente números del 1 al 6, la probabilidad de obtener un número determinado, por ejemplo el 2, es 1/6, por tanto de media necesitaremos 1/(1/6) o 6 lanzamientos para obtener un 2. Por término medio necesitaremos también 6 lanzamientos para obtener un 5 y así sucesivamente. Por el contrario, la probabilidad de obtener un número impar, el 1, el 3 o el 5, es 3/6, luego por término medio necesitaremos 1/(3/6) o 2 lanzamientos del dado para obtenerlo.

Mentirosos Lógicos, Políticos Paradójicos

 OPINIÓN por JOHN ALLEN PAULOS
3 de Abril de 2011

Mentiras, mentiras, mentiras. Propensos a estirar la lógica, basada en el engaño y la transmisión de rumores, los políticos y los medios que informan acerca de ellos son un entorno natural para algunos  juegos lógicos clásicos en los que toman parte la mentira y la autorreferencia.

Los escenarios políticos idealizados son más sencillos de relacionar con estos enigmas que los originales, por lo que he disfrazado algunos de ellos con un atuendo más moderno.

Para ir de los ejemplos más sencillos a los más complicados, comenzaré con la conocida paradoja del mentiroso.

Puede darse, por ejemplo, si un presentador simplemente dice: “Esta afirmación que estoy haciendo es falsa”. Si la afirmación es verdadera, entonces lo que dice es falso, mientras que si es falsa, lo que dice es verdadero.

Otras situaciones menos evidentes y más realistas, en las que participen dos o más personas, pueden surgir también con facilidad.

Si el Senador S dice que el comentario del Senador T sobre la Ley de Sanidad es falsa, no hay nada paradójico en su afirmación. Si el Senador T dice que lo que señaló el Senador S acerca de sus declaraciones es cierto, tampoco hay ninguna paradoja. Pero si combinamos ambas afirmaciones, la paradoja aparece.

No es muy difícil imaginar una serie mayor de comentarios de varias personas, cada una de ellas factible individualmente, pero que sin embargo conduce a una paradoja aún mayor.

¿En qué se equivoca la probabilidad creacionista?

Con esta traducción de un artículo de John Allen Paulos colaboro por primera vez en el blog “La Ciencia y sus Demonios“.

Mientras crece el apoyo al creacionismo aparecen grandes errores en sus argumentaciones.

Por John Allen Paulos, 3 de Septiembre de 2006

Un reciente estudio internacional publicado en la revista Science por el profesor John Miller, de la Universidad Estatal de Michigan, y sus asociados, dice que un número creciente de norteamericanos no creen en la teoría de la evolución. De hecho, una encuesta realizada en 32 países europeos y Japón revela que solo Turquía tiene un porcentaje mayor de ciudadanos que rechazan a Darwin.

El autor atribuye los resultados en Estados Unidos al fundamentalismo religioso, la inadecuada educación científica y a maniobras políticas partidistas. Con respecto a esto último, Miller señala que “no hay ningún partido político mayoritario en Europa ni en Japón que utilice la oposición a la evolución como parte de su ideario político”.

Ganar en Juegos Perdedores

Una Nueva Paradoja en el Mundo de las Probabilidades

Por John Allen Paulos, 1 de junio de 2004

Traducido por Javier Oribe para Carnaval de Matemáticas

- Hay un antiguo cuento acerca de un tendero que perdía dinero con cada venta que hacía, pero que de alguna manera salía ganando en el volumen total de ventas.

Ahora, nuevos cálculos realizados por un físico español sugieren que puede haber algo de cierto en esta paradoja. El descubrimiento de Juan Parrondo no sólo ofrece un nuevo caramelo mental a los matemáticos, sino que variaciones suyas pueden tener también implicaciones en las estrategias de inversión.

La paradoja de Parrondo consiste en dos juegos, cada uno de los cuales tiene como resultado pérdidas continuadas a lo largo del tiempo. Sin embargo, cuando esos juegos se juegan sucesivamente y en orden aleatorio, el resultado es una ganancia continuada. Malas apuestas empujan juntas para producir grandes beneficios, ¡algo verdaderamente extraño! Para comprenderlo, vamos a pasar de una metáfora financiera a una espacial.

¿Quién lleva la cuenta?: Trabajo, Sanidad y Twitter

Comprendiendo los Números tras el Cambio Climático, el Desempleo y los Juegos Olímpicos.

Por John Allen Paulos, 7 de marzo de 2010.

Como es habitual, la aritmética básica es fundamental para comprender muchas de las noticias más importantes (así como aquellas que no tienen relevancia pública, como el culebrón de Tiger Woods). Lo que sigue es un collage de algunas de estas noticias.

Un problema es que la gente a menudo ve los números más como mera decoración que como fuentes información. En las últimas semanas, por ejemplo, realicé un pequeño experimento con personas que conocí al azar.

Si nuestra ociosa conversación versaba sobre acontecimientos recientes, yo mencionaba un titular que decía haber leído proclamando “Los expertos temen que los costes anuales de la vivienda en los Estados Unidos (alquileres e hipotecas) llegarán a los 20.000 millones de dólares”, continuando con “Imagíneselo, 20.000 millones de dólares al año”.

Normalmente la gente responde lamentándose de la crisis hipotecaria, las ejecuciones de embargos, Wall Street y otras muchas cuestiones. Sólo una persona se dió cuenta de que la cifra de 20.000 millones de dólares es absurdamente pequeña. Una población de 300 millones se traduce en unos 100 millones de inquilinos o propietarios. Si dividimos 100 millones entre 20.000 millones obtenemos que éstos pagarían de media unos 20 dólares anuales de alquiler o hipoteca. !Sólo 20 dólares¡

La Ley de Sanidad

Esta anécdota tiene relevancia en asuntos más importantes como las diferentes propuestas de Ley de Sanidad. Hay diferentes proyectos en consideración, pero cada uno de ellos tiene un coste aproximado de un billón de dólares en 10 años.