Instant Karma: el Dr. House, Roy Randall y la Falacia del Jugador


Esperanza Matemática, Regresión a la Media,  y Un Poco de Buen Rollito

Por Javier Oribe para Carnaval de Matemáticas.

Una de las aplicaciones de las matemáticas que menos se conocen y comprenden es la capacidad que tienen éstas para ayudarnos a tomar decisiones. Las matemáticas nos proporcionan herramientas, principalmente desde la lógica formal y la teoría de probabilidades, que aplicadas a un contexto de decisión pueden indicarnos cuál es el camino a seguir para alcanzar un objetivo concreto, o para acercarnos a él lo más posible. Obviamente, la realidad de las relaciones humanas es tan compleja que ni siquiera las matemáticas pueden dar respuestas exactas a ciertas situaciones, pero sí nos pueden servir como guía para ayudarnos a elegir correctamente.

Pero en realidad hoy no quiero hablarles de esto, sino precisamente de lo contrario: de cómo a partir de razonamientos matemáticos correctos podemos sacar falsas conclusiones que nos lleven a tomar decisiones mal fundamentadas. Para esto me voy a apoyar en la historia de Roy Randall, un personaje que aparece en el capítulo Instant Karma** de la serie House que toma una decisión cuanto menos curiosa que me llamó bastante la atención. Por desgracia para los aficionados a las matemáticas, esta decisión no se basaba en razonamientos probabilísticos incorrectos, pero me he tomado la libertad de hacer un paralelismo entre sus argumentos y ciertos razonamientos matemáticos que espero les interesen. Vamos a ello.

Roy Randall y el karma

Roy Randall es un  empresario multimillonario de gran éxito y reconocido prestigio, que convierte en oro todo lo que toca. Su hijo sufre una extraña enfermedad que ningún médico ha sido capaz de tratar, por lo que recurre al doctor House para que trate de averiguar qué le ocurre. Después de errar con múltiples diagnósticos, entre los que por supuesto se descartó el lupus, el equipo de House llega a la conclusión de que el niño sufre una extraña enfermedad genética incurable y que le quedan pocos días de vida.

Entonces el sr. Randall se desespera, pues a pesar de su poder económico no puede hacer nada por salvar la vida de su hijo.  En ese momento llega a una conclusión como mínimo curiosa: en realidad, la culpa de lo que le pasa la tiene el karma, una energía mística que equilibra los sucesos “buenos” de la vida con los “malos” (algo así como ve de buen rollito y te irá bonito). Piensa que el tremendo éxito que ha tenido siempre en los negocios representa una cantidad tan ingente de buena suerte que es lógico que su vida familiar esté marcada por la desgracia. Por tanto, para equilibrar su karma, decide arruinarse malvendiendo todo lo que tiene para que así su hijo se cure.

Para House, como para la mayoría de nosotros, esta es una decisión absurda tomada sin ningún fundamento. Sin embargo, si el sr. Randall tuviera algún conocimiento de cálculo de probabilidades, podría haber encontrado un par de argumentos que, mal interpretados, parecerían darle la razón.

El valor esperado y cómo éste no explica el karma del sr. Randall

El primero de estos argumentos podría basarse en el valor esperado, o esperanza matemática. La idea de valor esperado, muy importante para el cálculo de probabilidades y teoría de juegos, se puede comprender bastante bien si la relacionamos con el concepto de media aritmética que todos dominamos desde el colegio (espero).

Imaginemos que estamos jugando una partida de póquer con tres compañeros. Supongamos también que las habilidades de los cuatro como jugadores son similares, de tal forma que cada uno de nosotros tiene una probabilidad entre cuatro de ganar una mano (1/4) antes de repartir cartas. Si en las cuatro primeras manos gano tres y pierdo una, de tal forma que me llevo 4, 8, 12 y -6 euros, mi ganancia media por mano será (4+8+12-6)/4=4.50 euros, y esto no es  otra cosa que la media aritmética de mis ganancias en estas manos. En este momento puedo preguntarme ¿cuánto dinero ganaría de media si apostásemos los cuatro una cantidad fija, por ejemplo 5 euros por mano?

Lo que estoy intentando calcular es cuál será la media de mis ganancias en las sucesivas jugadas que aún no se han realizado. Para hacer esto puedo recurrir al cálculo del valor esperado para mi ganancia, que consiste en multiplicar la probabilidad que tengo de ganar por la ganancia que obtendría, y restarle la probabilidad que tienen mis compañeros de ganarme multiplicada por lo que perdería yo si ganasen ellos.  Así obtenemos una suerte de media aritmética a priori que nos indicará qué podemos esperar de este juego.

Esto es más difícil de decir que de hacer: tengo 1/4 de probabilidades de ganar 15 euros (si gano yo), 1/4 de perder 5 (si gana el  2º jugador), 1/4 de perder 5 (si gana el 3º) y otro 1/4 de perder 5 (si gana el 4º), luego el resultado esperado es (1/4)*15-(3/4)*5=0 euros, es decir,  lo más probable es que si juego un número suficiente de manos termine quedándome con el dinero con el que empecé.

Lo complicado del valor esperado es interpretarlo. ¿Qué significa este cero? Si nos ceñimos a lo puramente matemático, el cero me está diciendo que lo normal es que si jugásemos un número muy grande de manos apostando 5 euros, mis “beneficios esperados” estarían en torno a los cero euros. Otro modo menos riguroso de verlo es diciendo que el valor esperado hace que los resultados positivos se compensen con los negativos, ponderados según la probabilidad de cada uno de ellos, y por tanto como las probabilidades de ganar 15 euros son de una entre cuatro  (15/4) y las de perder 5 son de 3 entre 4  (-15/4), lo esperado será que ni ganemos ni perdamos.

Ésto explica cómo, ante una situación o una serie de situaciones desfavorables, pensar en el valor esperado nos puede dar una falsa confianza en que las cosas van a cambiar próximamente. El sr. Randall podría pues pensar que el valor esperado obliga a que las desgracias deban ser compensadas por las alegrías, justificando así el funcionamiento de su karma y llevándolo a deshacerse de su fortuna para compensar la mala suerte que tiene con su familia, de tal forma que el valor esperado de sus ganancias (entendidas no como dinero, sino como nivel de satisfacción personal) salvará la vida de su hijo.

La mala utilización que se hace en este caso del valor esperado es pensar que, gracias al él, después de que pase algo malo es más probable que pase algo bueno. El valor esperado nos habla de lo que ocurriría si se dieran una serie de situaciones muy grande (en realidad, infinita), pero no dice absolutamente nada acerca de lo que va a ocurrir en una situación que sucede a otra, ni en la que la sucede a ésta a su vez, ni de lo que sucederá en las 12.354 situaciones sucesivas. Dicho de otra manera, aún suponiendo que  el valor esperado explica cómo el karma compensa lo bueno y lo malo (cosa que no es cierta), en ningún sitio se dice cuándo lo tiene que hacer. Podría ser justo después de perder su fortuna, o podría ser un año después de quedarse sin blanca y sin su hijo.  O podría tardar tanto en compensarse que los bisnietos del sr. Randall aún pensarían que su karma está peor que el PIB de Grecia. Por tanto, nuestro amigo podría verse sin su hijo y completamente arruinado sin que al karma, ni por supuesto al valor esperado, les importase lo más mínimo.

Por cierto, ¿dónde está la gracia de  jugar al póquer si el valor esperado de la partida es cero? La respuesta la daré al final, a ver si a alguien se le ocurre*.

La regresión a la media y como ésta tampoco explica el karma

Un concepto diferente, pero que también nos podría a llevar a confusiones es el de la regresión a la media.  Sin entrar en tecnicismos, podríamos decir que la regresión a la media consiste en que cuando tenemos una serie de resultados, éstos tienden a estar cerca del valor medio de todos ellos. Así, aunque aparezca un valor determinado excepcionalmente alto (o bajo), es probable que el siguiente no sea tan excepcional y que vuelva a parecerse al resultado medio. En otras palabras,  los valores tienden a “regresar” a la media.

Eso lo podemos ver en muchas situaciones reales, como por ejemplo, el hecho de que después de hacer un año excelente un jugador de tenis haga un segunda temporada más discreta,  que  no sea muy normal ver a un equipo ganar doce partidos seguidos o que la segunda parte de una gran película no suela ser tan buena como la primera (en cualquier caso, continuaciones como las de Matrix o la última de Indiana Jones no son ya una cuestión de regresión a la media, sino simplemente atentados contra la inteligencia humana).

Nuestro protagonista también podría encontrar en la regresión a la media una razón lógica para justificar la idea de que es posible equilibrar su karma. Si le pasa algo tan malo como el quedarse en la ruina, no le puede ocurrir después algo tan terrible como la muerte de su hijo, ya que se estaría inclumpiendo la regresión a la media. Pero nuevamente se equivocaría en los fundamentos de su decisión, y por razones muy parecidas a las anteriores.

La regresión a la media es una tendencia, un comportamiento que suele darse, pero no es una ley, es decir, no hay nada que obligue a que después de marcar 50 tiros libres seguidos, un jugador de baloncesto no pueda marcar otros 50. Que lo normal sea que no lo haga, no significa que sea imposible. Hasta incluso puede que no sea improbable, si el jugador se llama José Manuel Calderón. Una leyenda urbana bastante común dice que la inteligencia “salta” una generación, y por lo tanto de unos padres con un talento especial lo normal es que nazcan hijos más mediocres. Si esto sucediera porque el talento que pasa de una generación a otra cumple  una supuesta ley de la regresión a la media, a ver entonces cómo se explican las cinco generaciones consecutivas de genios de las ciencias que dio la familia Bernoulli, por ejemplo.

En definitiva, el sr. Randall puede arruinarse, perder a su hijo y ser devorado por un león que se ha escapado del circo, todo en un mismo día y sin que esta secuencia de sucesos viole ninguna ley probabilística.

La falacia del jugador o porqué el bueno no siempre gana y a veces el malo se queda con la chica

En realidad, si el sr. Randall utilizara alguno de estos argumentos para justificar su decisión estaría cayendo en algo muy parecido a la denominada falacia del jugador. La falacia del jugador es una mala pasada que nos juega la intuición y que consiste en pensar que dos sucesos aleatorios independientes, es decir, que no tienen nada que ver uno con el otro, tienen diferentes probabilidades si se dan conjuntamente que si se dan por separado. Su nombre viene de la idea intuitiva (aunque falsa) que tenemos acerca de lo improbable que es que se dé una serie larga de resultados iguales en un juego, como el que al lanzar una moneda salga cara catroce veces seguidas, cuando en realidad es igual de probable que salga cruz  en la tirada número quince como que salga de nuevo cara. En realidad, cuando ocurren dos sucesos independientes el cálculo de la probabilidad de cada uno de ellos se hace también de manera independiente, y por tanto las probabilidades de aparecer de cada uno de ellos son las mismas tanto si se da el otro suceso como si no (hay un ejemplo de cómo se calcula la probabilidad de que dos sucesos independientes ocurran a la vez en este comentario a mi entrada ¿Qué es el Anumerismo?).

A poco que busquemos, podemos encontrar ejemplos de falacia del jugador cada día. Es fácil pensar que un equipo tiene más probabilidades de perder si lleva varias semanas ganando, nadie compraría un billete de lotería de navidad si se diera cuenta de que el número es consecutivo al que salió el año anterior, ni nadie escoge en un sorteo la combinación 1-2-3-4-5-6-7. En todos estos casos, nuestra intuición nos juega una mala pasada, pues en realidad estamos evaluando sucesos independientes entre sí: un partido de fútbol no tiene prácticamente nada que ver con el anterior y un bombo de lotería no tiene tampoco ninguna información sobre el número que salió el año pasado, ni sobre los que han salido antes que él. Por tanto, si el primer número que sale del bombo es el 1, es tan fácil que el siguiente sea el 34 como por supuesto el 2.

El valor esperado y la regresión a la media pueden decirnos que algunos de estos casos pueden ser raros e incluso extraordinarios, pero no nos dicen que no puedan darse. Y además nos demuestran que el instaurar el buen rollito como filosofía de vida, que puede estar muy bien para encontrarse mejor uno consigo mismo y con los demás, no sirve para que no te atropelle un coche o no te salga ardiendo un calefactor en casa. A pesar de lo que nos diga Hollywood (o Bollywood), el ser guapo, alto, buen hijo,  buen parroquiano, intrépido jinete y tirador certero no le garantiza a uno que el malo, que es malo pero que muy malo, no pueda atracar el banco, llevarse el dinero y encima quedarse con la chica. Eso tendrá que ver con lo espabilados que andemos, no con nuestro karma ni con nuestra actitud frente a la vida.

Por lo tanto, que el hijo de Roy Randall fallezca o sobreviva es absolutamente independiente de que su fortuna crezca o se pierda, por desgracia para él. Así que, si quiere deshacerse de su imperio para sentise mejor con él mismo que lo haga, pero teniendo bien claro que eso no curará a su hijo.

Cuidado con las deducciones que hacemos

Las matemáticas son una herramienta potentísima que nos permite hacer muchas más cosas que dividir por tres cifras o sacar raíces cuadradas. Una persona que posea un buen dominio de conceptos matemáticos elementales en aritmética, lógica y probabilidades puede utilizarlos a su favor en multitud de situaciones, independientemente del campo en el que se suela manejar. Pero es tan importante conocer lo que podemos obtener de ellas, como lo que no, pues como cualquier otra herramienta las matemáticas pueden engañarnos si no las interpretamos adecuadamente.

Aunque es más que probable que el sr. Randall no tuviera en su cabeza las matemáticas cuando tomó su decisión, aquí hemos visto que tenerlas en cuenta puede ser beneficioso para ayudarnos a actuar correctamente si sabemos cuáles son las trampas que debemos evitar.

Y si alguien se había interesado en este artículo por si encontraba en él una explicación del karma, aquí la tiene: no la hay. Es un absurdo intentar explicar algo que es una creencia utilizando argumentos científicos, pues es algo que no se puede contrastar con experiencias reales y generalizables. Tratar de explicar el karma es como intentar demostrar que en todas las plazas de garaje del país hay un Unicornio Rosa Invisible, que entre la Luna y Marte hay una Tetera orbitando o que el mundo lo creó un Monstruo Volador de Espaguetti. El que se lo crea bien, y el que no también, pero por favor, no andemos buscando justificaciones a cosas que son simplemente creencias.

Esas respuestas no existen. Y si alguien les dice que las ha encontrado, hagan como yo: cambien de canal. O mejor, apaguen el televisor.

Sevilla, febrero de 2010

Lo publicó Javier Oribe Moreno en El Máquina de Turing para Carnaval de Matemáticas

 

 

Spoiler: ¿qué pasó al final con Roy Randall y su hijo?

Para que nadie se quede con la duda, contaré aquí el final del capítulo. Por supuesto, House advierte al sr. Randall que lo que está haciendo es una estupidez, que su hijo se muere independientemente de lo que haga con su fortuna, pero él sigue adelante. Como era de esperar, poco después de que éste firme su ruina House se da cuenta de un detalle que se han pasado por alto y al final descubre que el crío lo que tiene es una enfermedad rara muy grave, pero perfectamente curable. Por suerte para nuestros cerebros, en el capítulo ésto se presenta como una mera casualidad y no como un triunfo del karma, y así se lo intenta hacer ver House al sr. Randall, que sin embargo le contesta con el típico pues a mí me funciona, tan recurrente en estos casos. Ah, y por supuesto House hace uso de la información privilegiada para ganar 10.000 dólares a costa de la ruina del sr. Randall, como no podría ser de otro modo.

*Respuesta:  Suponiendo que el valor de la partida fuese cero (que ocurre en este ejemplo, pero no tiene porqué ser así en general), lo interesante de la partida es no jugarla simplemente basándonos en probabilidades, sino intentando engañar a nuestros contrincantes, tomando posturas arriesgadas a veces y conservadoras otras, etc. Los conocimientos de estadística y probabilidad no están para ser aplicados como un robot, sino como guía u orientación acerca de qué caminos serán los que nos llevarán a nuestra meta con mayor probabilidad y cuáles no. Hay que tener en cuenta que un suceso que tiene una probabilidad siempre puede ocurrir, por muy pequeña que ésta sea, por lo que aferrarnos  ciegamente a razonamientos probabilísticos es un error de la misma magnitud que ignorarlos o malinterpretarlos.

**El título del capítulo se debe a la canción de John Lennon “Instant Karma”, que enlazo aquí para que la disfruten: http://www.youtube.com/watch?v=EqP3wT5lpa4

(pido mil disculpas a los fans de John Lennon, no había visto que salía Yoko Ono en el vídeo… y haciendo ganchillo!!!)

Spoiler: ¿qué pasó al final con Roy Randall y su hijo? Para el que se halla quedado con la duda, contaré aquí el final del capítulo. Por supuesto, House advierte al sr. Randall que lo que está haciendo es una estupidez, que su hijo se muere independientemente de lo que haga con su fortuna, pero él sigue adelante. Como era de preveer, poco después de que éste firme su ruina House se da cuenta de un detalle que se han pasado por alto y al final descubre que el crío lo que tiene es una enfermedad rara muy grave, pero perfectamente curable. Por suerte para nuestros cerebros, en el capítulo ésto se presenta como una mera casualidad y no como un triunfo del karma, y así se lo intenta hacer ver House al sr. Randall, que sin embargo le contesta con el típico pues a mí me funciona tan recurrente en estos casos. Ah, y por supuesto House hace uso de la información privilegiada para ganar 10000 dólares a costa de la ruina del sr. Randall, como no podría ser de otro modo.

13 comentarios

  1. […] Instant Karma: el Dr. House, Roy Randall y la Falacia del Jugador elmaquinadeturing.wordpress.com/2010/02/11/instant-karma-el-…  por joribe hace 5 segundos […]

  2. No está nada mal, Javi! Muy entretenido.

    Menos mal que has contado el final del capítulo de House, he estado con la intriga todo el artículo…

    ¡¡¡Enhorabuena!!!

    1. Gracias, Rakel!

      Claro que iba a contar el final, pero lo he dejado como spoiler por si alguien no quería saberlo.

      Saludos!

  3. Buen artículo, pero hay algo con lo que no estoy de acuerdo.

    Nuestros esquemas mentales están influídos por milenios de evolución. Algunos antropologos y psicologos proponen que algunas pautas de comportamiento como la reciprocidad, la equidad, la comparación de ganancias y perdidas y otras, tienen un origen evolutivo. Puede que de forma totalmente racional no tenga demasiado sentido algunos esquemas de pensamiento o de comportamiento, pero que a nivel global esa forma de actuar tenga alguna ventaja evolutiva.

    En el caso que nos ocupa pienso que la persistencia en este error ayuda a los húmanos a ser perseverantes, alguna veces estúpidamente perseverantes, pero esta perseverancia lejos de ser un mal que se puede deba racionalmente, para que perseverar en un suceso de probabilidad minúscula, supone en la práctica una ventaja, perseveramos en la creencia de que el fin cada vez está más cerca, aunque racionalmente no sea así, y al final con mayor, menor o un esfuerzo titánico llegamos a cubrir algún objetivo.

    Los sueños y esperanzas, aun siendo vanas, también nos han convertido en lo que somos.

    Antonio QD
    Sofista

    1. Gracias por tu comentario, Antonio.

      No conozco esas teorías evolutivas, que por otra parte me parecen que pueden tener su lógica, pero en el artículo no critico la decisión del sr. Randall más allá del punto de vista de la toma de decisiones apoyada en razonamientos matemáticos. Lo que intento explicar es cómo se puede uno equivocar incluso intentando ser lo más racional posible, y cómo es tan importante saber lo que podemos esperar de las matemáticas como lo que no, pero trato de no juzgar esta decisión máa allá de esto.

      De todas formas creo que el que un comportamiento sea un rasgo evolutivo que sirvió para sobrevivir en el pasado no tiene porqué ser útil en el presente, por ejemplo, yo le tengo pánico a las serpientes desde siempre y jamás me he cruzado con una, y sin embargo sí que intenté meter los dedos en algún enchufe y me llevé más de una pila a la boca siendo pequeño. Evolutivamente, el miedo a las serpientes ayudaría a sobrevivir a algún antepasado mío, pero hoy en día me sería más útil tenerle miedo a las pilas alcalinas😀

      Javi Oribe
      Pastafari

  4. Buenas Tardes

    Haran falta varias generaciones de Oribes hasta que el miedo a las baterías alcalinas forme parte de nuestro legado evolutivo. En cualquier caso, tal y como le va a esta loca bola, no te extrañe que nuestro comportamientos innatos vuelvan a ser importantes.

    Sólo pretendía poner una pica en Flandes, y defender que incluso los razonamientos lógica o matemáticamente erróneos, pueden ser utiles y puede que incluso convenientes. También, me doy cuenta que el razonamiento lógico y matemático ha sido una de las herramientas más poderosas con las que nos ha dotado la evolución. La evolución también ha dotado a la humanidad de la capacidad de encontrar belleza, confort también, en las abstracciones lógicas y matemática.

    Como decían en aquel anuncio : “El ser humano es algo extraordinario”.

    Un abrazo

    Antonio QD
    Hoy también me siento sofista.

  5. Enhorabuena porque has conseguido algo que yo jamás hubiera soñado: que me iba a divertir leyendo “cosas” de Matemáticas. Y sí, tomaría prestado uno de tus comentarios propuestos: – “No sólo eres guapo, alto y divertido, sino que además escribes muy bien, campeón. (Por supuesto somos omá y opá)”.

  6. Hola que tal¡

    Mi nombre es tania soy administradora de un directorio de webs/blogs, navegando por la red ví tu página y está muy buena, sería genial contar con tu site en mi sitio web y asi mis visitas puedan visitarlo tambien.

    Si estas de acuerdo solo escribeme.

    Exitos, un beso

    1. Hola Tania, gracias por tu comentario.

      No me importa que enlaces el blog desde donde quieras, pero no me has dicho cuál es tu página ni de qué trata. Puedes enlazarla aquí si quieres, yo permito enlaces en los comentarios mientras que no sean spam.

      Saludos.

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