Mentirosos Lógicos, Políticos Paradójicos

 OPINIÓN por JOHN ALLEN PAULOS
3 de Abril de 2011

Mentiras, mentiras, mentiras. Propensos a estirar la lógica, basada en el engaño y la transmisión de rumores, los políticos y los medios que informan acerca de ellos son un entorno natural para algunos  juegos lógicos clásicos en los que toman parte la mentira y la autorreferencia.

Los escenarios políticos idealizados son más sencillos de relacionar con estos enigmas que los originales, por lo que he disfrazado algunos de ellos con un atuendo más moderno.

Para ir de los ejemplos más sencillos a los más complicados, comenzaré con la conocida paradoja del mentiroso.

Puede darse, por ejemplo, si un presentador simplemente dice: «Esta afirmación que estoy haciendo es falsa». Si la afirmación es verdadera, entonces lo que dice es falso, mientras que si es falsa, lo que dice es verdadero.

Otras situaciones menos evidentes y más realistas, en las que participen dos o más personas, pueden surgir también con facilidad.

Si el Senador S dice que el comentario del Senador T sobre la Ley de Sanidad es falsa, no hay nada paradójico en su afirmación. Si el Senador T dice que lo que señaló el Senador S acerca de sus declaraciones es cierto, tampoco hay ninguna paradoja. Pero si combinamos ambas afirmaciones, la paradoja aparece.

No es muy difícil imaginar una serie mayor de comentarios de varias personas, cada una de ellas factible individualmente, pero que sin embargo conduce a una paradoja aún mayor.

¿Quién Dice la Verdad?

Otro antiguo enigma, de nuevo ligeramente distinto, trata sobre un reportero que tiene dos fuentes de confianza, A y B.

En situaciones políticas importantes, A siempre dice la verdad y B siempre miente, pero el reportero ha olvidado quién es quién. El reportero quiere saber si el Senador S está implicado en cierto escándalo, y por alguna razón sólo puede preguntarle a una de sus fuentes, por ejemplo vía e-mail, una única pregunta de respuesta sí o no. ¿Qué pregunta debería ser?

Respuesta: Una solución (hay otras) es hacerle a cualquiera de las fuentes la siguiente pregunta: «Hay dos afirmaciones, 1) eres sincero, y 2) el Senador S está implicado en el escándalo, ¿son las dos verdaderas o las dos falsas?» Lo interesante de esta pregunta es que ambos, el sincero y el mentiroso, contestarán «sí» si el senador está implicado.

Si la fuente es sincera, su respuesta será «sí» ya que ambas afirmaciones son verdaderas, y si es un mentiroso, responderá que sí porque sólo una de las dos es verdadera. Un razonamiento similar muestra que ambas fuentes responderán que no si el senador no está implicado.

Fíjese que una pregunta absolutamente inútil en este caso es «¿Está diciendo la verdad sobre el Senador?», ya que ambos, el sincero y el mentiroso, contestarían «sí».

Complicando la Situación

La respuesta anterior nos conduce a un principio general. Si quiere saber si alguna proposición P es verdadera y su fuente es sincera o mentirosa, pregúntele si las dos afirmaciones (eres sincero y la proposición P) son ambas ciertas o ambas falsas. Puede confiar en la respuesta incluso si no sabe si se la ha dado un mentiroso o una persona sincera.

El reportero podría afrontar un intrigante aunque aún más difícil problema, formulado originalmente en un escenario ligeramente distinto por el lógico Ray Smullyan. Supongamos que el reportero quiere saber de nuevo si el Senador S está implicado en el escándalo, pero ahora hay tres fuentes de confianza, A, B y C.

Una es sincera, otra mentirosa y la tercera una persona normal que a veces miente y a veces dice la verdad (todos ellos conocen el carácter de cada uno). El reportero no sabe quién es quién, pero esta vez puede hacer dos preguntas de sí o no, cada una dirigida a un sólo informador, para determinar la implicación del Senador S. ¿Qué preguntas debería hacer y a quién debería hacerlas?

Respuesta: Como en el enigma anterior vimos que podemos manejar situaciones en las que hay sinceros y mentirosos, nuestro objetivo aquí es utilizar una de nuestras preguntas en descubrir a un informador que sea normal. Una vez lo hayamos localizado, habremos reducido el problema al anterior.

Así, la primera pregunta debe ir dirigida a A, y debe ser: «¿Son las afirmaciones «eres sincero» y «B es un mentiroso» ambas falsas o ambas verdaderas?

Supongamos que A responde «sí». Si A es mentiroso o sincero, entonces sabemos que podemos confiar en la respuesta y B debe ser normal, y por tanto C no lo es. Si A no es mentiroso ni sincero, entonces debe ser normal y de nuevo concluimos que C no es normal. En cualquier caso, la respuesta «sí» implica que C no es normal.

Por otra parte, si A responde «no» y es mentiroso o sincero, podemos entonces confiar en su respuesta y concluir que B no es normal. Si A no es mentiroso ni sincero, entonces de nuevo sabemos que B no es normal ya que A lo es.

En cualquier caso, un no significa que B no es normal. Si obtenemos un sí, haremos a C la segunda pregunta, y si obtenemos un no, se la haremos a B.

¿Y cuál es la segunda pregunta? Pues la expuesta en el primer escenario en el que participaban una persona sincera y un mentiroso: ¿Son las dos afirmaciones «eres sincero» y «el Senador S está envuelto en el escándalo» ambas ciertas o ambas falsas?

¿Habría por allí alguna persona completamente deshonesta?

La moraleja de esta historia es que los mentirosos absolutos pueden proporcionar tanta información como los completamente sinceros. Diógenes, quien según la leyenda griega pasó su vida buscando un hombre completamente honesto, debería haber extendido el objeto de su búsqueda. Un hombre completamente deshonesto podría haberle servido también. El problema son esos bichos molestos que algunas veces mienten y otras dicen la verdad.

John Allen Paulos, profesor de matemáticas de La Universidad de Temple, Filadelfia, es autor de best sellers como «El hombre anumérico, «Un matemático lee el periódico» o «Elogio de la irreligión». Está en Twitter y su columna «Who’s Counting?» en ABCNews.com se publica el primer fin de semana de cada mes.

Lo tradujo  Javier Oribe Moreno para El Máquina de Turing.

Puede consultar el artículo original aquí.