Matemáticas para detectar camelos: el contraste de hipótesis

Por Javier Oribe para El Máquina de Turing

Imagine por un momento que usted sufre de algún tipo de dolencia crónica no muy grave pero fastidiosa, como por ejemplo jaquecas, dolores de espalda, insomnio o afición a programas de televisión presentados por Jordi González.

Imagine también que un día un amigo de mucha confianza le comenta que una tía suya a la que le pasaba lo mismo se tomó unas perlitas, se puso una pulsera o incluso durmió con una pirámide debajo de su cama, y que desde entonces ha notado una ostensible mejoría. Usted, que ya ha ido en varias ocasiones al médico sin mucho éxito, piensa que no tiene nada que perder y decide probar suerte. Y resulta que le funciona.

Su cabeza o su espalda dejan de dolerle, duerme mejor o deja de ver telebasura. Y todo gracias a un «método de curación» (que a partir de ahora llamaremos el método) que no sólo no está avalado por la medicina, sino que además es objeto de ataque continuo por parte de científicos, escépticos y demás.

¿No funciona y me lo quieren vender, o funciona y no quieren que lo sepa?

Ante una situación así, la mayor parte de las personas suelen adoptar alguna de estas dos posturas:

Opción A: El método funciona y la «ciencia oficial» se equivoca.

Opción B: Si no tiene respaldo científico es porque no se puede afirmar que el método funcione, lo que lo convierte en un fraude.

Para defender su postura, los defensores de la opción A suelen afirmar por ejemplo que existen aspectos de la naturaleza que la ciencia aún no comprende, o que se trata de remedios milenarios que llevan usándose mucho tiempo; y suelen explicar la no aprobación oficial defendiendo que desde ciertos grupos de poder se impide que los «métodos de curación alternativa» lleguen al público. Por otro lado, los defensores de la opción B argumentan que si el método es rechazado por la comunidad científica es porque ha sido puesto a prueba y se ha concluido que no hay manera de saber si lo sucedido se debe simplemente al azar o a un efecto placebo, o bien ni siquiera se ha intentado probar su valía.

Sea cual sea la opción escogida por usted, estaremos de acuerdo en que cualquier argumento a favor de una determinada hipótesis no puede basarse en cosas como «hace mil años que lo sabemos, y por tanto debe ser cierto», ya que estos argumentos son fácilmente rebatibles (por ejemplo, durante más de mil años los europeos occidentales «sabíamos» que la Tierra era plana y sin embargo es redonda). Así que, tanto si usted defiende la postura A como la B, está obligado a aportar alguna prueba que todos aceptemos como válida para apoyar sus argumentaciones si no quiere que éstas sean consideradas meras opiniones, respetables pero sin mayor valor.

Pero ¿es esto posible? ¿existe alguna manera de encontrar argumentos sólidos, que cualquiera pueda comprobar, y que nos indiquen si la postura correcta ante una situación como la descrita es la A o la B? O, para ser más concretos, ¿hay alguna forma de averiguar si nuestro método es un fraude, o si por el contrario es útil y aun así se rechaza?

La respuesta es sí.

Las matemáticas al rescate

Por suerte, existe toda una colección de procedimientos y de herramientas matemáticas que nos ayudan a resolver este problema. Una de estas herramientas, desarrollada durante el segundo cuarto del siglo XX primero por Fisher y después por Neyman y Pearson, se llama contraste de hipótesis y nos ayuda a decidir cuestiones como si un tratamiento realmente sirve para curar o no.

La idea básica del contraste de hipótesis se puede esbozar con el siguiente ejemplo: imaginemos que tenemos un dado, y que pensamos que está cargado de tal forma que el 5 sale en más ocasiones de las que debería. Entonces enunciamos nuestra hipótesis que dice «el dado no está cargado a favor del 5″ (aunque parezca un poco raro enunciar la hipótesis de esta manera, no es una elección caprichosa, como veremos más adelante).

Para comprobar si la hipótesis es cierta debemos partir de algún dato objetivo a partir del cual podamos contrastar si nuestra afirmación tiene sentido o no. En este caso el dato adecuado es bien conocido: si un dado no está cargado, cada cara saldrá por término medio 1 de cada 6 veces que sea lanzado. Por tanto, si lanzamos el dado un número de veces lo suficientemente alto (este número de lanzamientos se llama tamaño muestral y se puede calcular) y comprobamos cuántas veces ha salido cada resultado, observando la frecuencia con la que aparece el 5 podremos comprobar si el comportamiento del dado es distinto al que cabe esperar de un dado equilibrado.

En concreto, si la frecuencia con la que aparece cada resultado es de 1 de cada 6 tiradas, podemos inferir que el dado no está cargado ya que es el resultado a esperar; y si por el contrario vemos que el 5 sale 3 de cada 6 veces y el resto de resultados sale 1 de cada 10, parece obvio que el dado está cargado a favor del 5 y nuestra hipótesis es falsa. En el primer caso diremos que se acepta la hipótesis, mientras que en el segundo se dice que se rechaza.

Contrastemos nuestra hipótesis

Vamos a aplicar este razonamiento a nuestro método. La situación es que nos encontramos ante un método que se supone cura una determinada dolencia, y que ésta ha desaparecido tras la aplicación del método. Obviando el efecto placebo para no complicar demasiado la explicación, nos planteamos la siguiente pregunta:

– ¿La dolencia ha remitido por azar o realmente el método la ha curado?

En la pregunta se identifican con facilidad dos afirmaciones contrapuestas, la primera dice «el método no cura la dolencia», mientras que la segunda afirma, con otras palabras, que «el método cura la dolencia». A la primera afirmación la llamaremos hipótesis nula o cero, mientras que la segunda, que obviamente será cierta si la primera no lo es, se conoce como hipótesis alternativa. Como hemos mencionado ya, esta elección en el orden de las hipótesis no es casual.

La hipótesis cero es el resultado que ya se conoce a partir del cual vamos a contrastar la hipótesis alternativa, que realmente es la que hay que comprobar. Recuerden que antes utilizábamos el comportamiento de un dado equilibrado para contrastar la hipótesis «el dado está equilibrado». Ahora la cuestión, aunque es análoga, no es tan sencilla, ya que lo que necesitamos saber es el número medio de personas con la misma dolencia que experimentan una mejoría sólo por azar. Por suerte, la estadística matemática y un buen equipo de trabajo pueden dar respuesta a esta pregunta si se realiza un estudio adecuado, así que supongamos que lo realizamos y concluimos, por ejemplo, que 10 de cada 100 personas experimenta una sensible mejoría sin recibir tratamiento.

Lo siguiente será estudiar, por supuesto siguiendo de nuevo los procedimientos adecuados, la evolución de una muestra aleatoria de personas a las que se aplica el método. Si el número medio de mejorías es sensiblemente mayor al 10%, parece razonable pensar que el método funciona, mientras que si es del 10% es evidente que no existe diferencia alguna entre aplicar el método o no aplicarlo.

En definitiva, básicamente lo que hay que hacer es poner a gente con insomnio a dormir, unas con una pirámide de cuarzo bajo la cama y otras sin nada, y comprobar si hay más gente que se recupera del insomnio entre los primeros que entre los segundos. Si hacemos bien el estudio, podremos estar razonablemente seguros de que el resultado es correcto. Y más importante aún, cualquier otra persona podrá repetir el mismo estudio y comprobar si nuestros resultados están bien o si nos hemos equivocado.

Ajustando el modelo

Aunque parece sólido, el razonamiento expuesto hasta aquí tiene una fisura por donde podría ser atacado: no estamos tratando con hechos que irrefutablemente obedezcan a una relación de causa efecto (lanzo una piedra/la piedra cae al suelo), sino que tratamos con fenómenos aleatorios y que por tanto siempre estarán sujetos a cierto nivel de incertidumbre. Alguien podría decirnos: «Si usted parte de argumentos sujetos a incertidumbre, las conclusiones a las que llegue también lo estarán, luego ¿cómo puede afirmar con rotundidad que su resultado es correcto?». Y como tendría toda la razón, se hace necesario precisar más el contraste de hipótesis tanto en su planteamiento como en sus conclusiones. Veamos, sin entrar en detalles técnicos, cómo se resuelve este problema.

Concretando con nuestro ejemplo de los dados, lo que quiere decir este señor es que, por poco probable que parezca, no podemos descartar que hayamos obtenido cincos con una frecuencia de 3 de cada 6 veces por puro azar, aunque el dado en realidad esté equilibrado. A esta situación, en la que descartaríamos la hipótesis nula siendo correcta, se la conoce (en un derroche de creatividad) error del Tipo I. Y por supuesto, tampoco podemos descartar que en nuestros lanzamientos hayamos obtenido una frecuencia de un 5 cada seis lanzamientos por casualidad, cuando el dado en realidad está cargado en favor del 5. A esta otra posibilidad, en la que aceptamos la hipótesis nula siendo falsa, la llamaremos error del Tipo II.

Como no podemos eliminar la probabilidad de cometer alguno de estos errores, parece que el camino correcto sería construir un modelo que al menos la redujera al máximo, es decir, que nos permitiera decidir si el dado está cargado o no sabiendo que es muy difícil que estemos cometiendo un error del Tipo I o del Tipo II. Pero por desgracia, esto no es posible: al intentar reducir la probabilidad de cometer un error del Tipo I, aumentará la probabilidad de cometerlo del Tipo II y viceversa.

La solución aceptada es considerar que es mejor (o menos malo) cometer un error del Tipo II que del Tipo I, es decir, que es preferible equivocarnos por un exceso de celo y descartar como malo un método que en realidad funciona (error Tipo I) que pecar por defecto y dar como bueno un método de curación que no sirva para nada (error Tipo II)  (esto me lleva a considerar si no sería mejor llamarlos Error por Exceso y Error por Defecto, lo que haría mucho más sencillo tanto la explicación como el estudio del tema). En la práctica, técnicamente lo que se hace es tratar de que la probabilidad de cometer un error de Tipo I sea lo más pequeña posible, aun a costa de aumentar la probabilidad de estar cometiendo otro del Tipo II, para así poder cuantificar el efecto del azar sobre el resultado asegurándonos de que sea muy difícil rechazar una hipótesis siendo correcta.

Por tanto, respondiendo a la pregunta que nos hacía nuestro amigo, en cuanto al uso de argumentos no determinísticos el contraste de hipótesis se realiza asumiendo que todo el proceso está sujeto al azar, pero identificando perfectamente el efecto de la incertidumbre sobre el resultado y minimizándolo en el sentido más apropiado. Y en cuanto a las conclusiones, aunque los efectos del azar no permiten que obtengamos respuestas concretas como «si usas el método te vas a curar», sí podemos hacer afirmaciones que nos ayuden a decidir acerca de la cuestión, a saber:

– Si la hipótesis nula (el método no funciona) se rechaza (se concluye que sí funciona) será porque tenemos la suficiente certeza de que el método sí funciona, ya que hemos minimizado la probabilidad de aceptar algo que en realidad no lo hace.

– Si la hipótesis nula (el método no funciona) se acepta (se concluye que efectivamente no funciona), se hace porque no hay suficiente evidencia para descartar que la recuperación de la dolencia se deba al azar. Como hemos llegado a esta conclusión asumiendo que podemos estar aceptando una hipótesis falsa, no podemos afirmar que el método no funcione con la misma rotundidad con la que afirmaríamos que sí lo hace.

A o B , he ahí la cuestión.

Pero, ¿son suficientes éstas afirmaciones para posicionarnos a favor de la opción A o de la B? En realidad esta cuestión no es tan sencilla de dirimir, y está sujeta a debates que ya entran dentro del campo de la filosofía más que de las matemáticas, pero si aceptamos los convenios establecidos la respuesta a esta pregunta es de nuevo sí.

Al realizar un contraste de hipótesis, si se concluye que el método no funciona no tenemos pruebas de que haya diferencia entre usar el método y no usarlo, por lo que si se comercializa afirmando que tiene propiedades curativas o sin informar de que no está muy claro que las tenga, estaremos ante un fraude evidente, lo que nos lleva a la opción B. Si por el contrario se admite que el método funciona es porque estamos muy seguros de que es así, y por tanto tendremos argumentos suficientes para defender que postura oficial es incorrecta, lo que nos sitúa en la opción A.

Curiosamente, si conseguimos demostrar esto último la postura oficial cambiará y el método pasará a considerarse científicamente probado, y por tanto al final acabaremos estando de nuevo en la B, lo que convierte el debate entre ciencia oficial y ciencia alternativa en completamente absurdo.

En conclusión, la ciencia puede afirmar, no con una seguridad del 100% pero sí como poco al 95%, que un método que supuestamente cura una dolencia funciona. Luego cabe preguntarse: si las matemáticas aportan una herramienta tan potente, y al alcance de cualquiera, ¿porqué los defensores de las «medicinas alternativas» no se limitan a aportar pruebas en lugar de atacar a quiénes dudan de su efectividad?

Y además, si la misma herramienta nos permite afirmar que no hay diferencia entre consumir perlas homeopáticas y agua del grifo, ¿por qué no quedarnos directamente con el agua, que hace lo mismo y es más barata?

Sevilla, Julio de 2011

Lo publicó Javier Oribe Moreno en El Máquina de Turing

Gracias a Antonio Quintana Déniz por sus aportaciones, a Guillermo García Linazasoro por sus comentarios y Zaida Quintero Ruiz por su ayuda con la edición.

Y a los tres por su paciencia y apoyo.

Fuentes:

«Principios de Inferencia Estadística» – Ricardo Vélez Ibarrola y Alfonso García Pérez, Universidad Nacional de Educación a Distancia, Madrid, 1993

Wikipedia

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