Carrera de Peones


Por Javier Oribe para la edición 2.6 del Carnaval de Matemáticas en La vaca esférica.

Tras ausentarme del Carnaval de Matemáticas durante unas cuantas (demasiadas) ediciones a causa de los estudios, que alguna vez habrá que terminarlos, les voy a proponer un problema que se me ocurrió en una noche de insomnio previa a los exámenes de septiembre.

El problema se basa en el siguiente juego, al que he llamado “Carrera de Peones”: en un tablero de ajedrez, disponemos de un peón colocado en su posición de partida habitual (segunda fila), y se trata de coronar llevando el peón hasta la última fila siguiendo las siguientes normas:

· El peón avanzará tantas casillas como caras obtengamos del lanzamiento de un número determinado de monedas, que suponemos equilibradas.

· Podemos utilizar tantas monedas como queramos, pero una vez escojamos el número de monedas a lanzar no podemos variarlo.

· Hay que llegar a la octava fila con el número exacto de caras que necesitemos para coronar.

· Si sólo obtenemos cruces o bien si sacamos más caras de las que necesitamos para coronar, el peón no se moverá y lanzaremos de nuevo.

Para que quede claro, si escogemos cuatro monedas y obtenemos la siguiente secuencia de caras: 3, 0, 4, 3, ocurriría que:

· 3  ->  movemos el peón a la casilla 5

· 0 ->  no movemos el peón

· 4 ->  como estamos a 3 casillas de coronar, nos pasamos y tampoco movemos el peón.

· 3 -> coronamos.

¿Cuántas monedas escogería para tratar de coronar en el menor número posible de lanzamientos?

Les advierto que se me da bastante mejor inventar problemas que resolverlos, y además estoy de vacaciones, así que tengo planteada una solución pero aún no he resuelto todos los cálculos (y digo una solución porque la que creo haber encontrado no es la solución general del problema, que eso ya es otro cantar).

Cuando la tenga la publicaré, aunque espero que antes alguien dé con la forma de ganarme a una Carrera de Peones.

 

Lo publicó Javier Oribe Moreno en El Máquina de Turing para Carnaval de Matemáticas.

Terminé las vacaciones, así que ya pueden conocer la solución que propongo para la carrera de peones  aquí

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53 comentarios

  1. Información Bitacoras.com…

    Valora en Bitacoras.com: Por Javier Oribe para la edición 2.6 del Carnaval de Matemáticas en La vaca esférica. Tras ausentarme del Carnaval de Matemáticas durante unas cuantas (demasiadas) ediciones a causa de los estudios, que alguna vez habr……

  2. Creo que 11, pero es un poco de manera intuitiva, ya que cuando me lo he planteado me sale a derivar una función un poco hostil…

  3. Aquí está mi solución, la adjunto en un Google Doc

    https://docs.google.com/a/xrx.cat/document/d/1oU3WhbMA-2rFHIZ3M8gY9ECmPCh_0w796L-hkb-H028/edit?hl=es

    Son 3 monedas.

    Una introducción:

    Pues yo me planteo el problema como una minimización de los estados inactivos, es decir, aquellos estados en que el peon no avanza. Cuando no avanza el peón? Empezaré por alguna definicion.

    0.- Sea ‘p’ la cantidad de monedas usadas en el experimento (o un dado de ‘p’ caras que incluya el 0 o tirar ‘p’ veces una misma moneda al aire)
    1.- Sea ‘i’ el resultado de sumar el número de caras que aparecen al tirar ‘p’ monedas.
    2.- Sea ‘n’ la posición del tablero desde la que partimos para la tirada en curso. En este caso inicial n=2
    3.- Sea ‘m’ el valor a alcanzar (8, en este caso).
    4.- nm (mayor que 8)

    OBJETIVO: Encontrar para que ‘p’ maximizamos el número de estados activos (o minnimizamos el de inactivos)

    CASO PARTICULAR: la distancia a cubrir es 6 (con n=2 hay 6 casillas hasta coronar al peón).

    1. Gracias Alex, lo miraré bien cuando vuelva de las vacaciones 😀

  4. Hola Javi,

    Creo que debería especificarse la probabilidad de coronar, te propongo la siguiente modificación:

    ¿Cuántas monedas escogería para tratar de llegar a coronar con una probabilidad superior al 90% en el menor número posible de lanzamientos?

    Lo digo porque si la pregunta es:

    ¿Cuántas monedas escogería para tratar de llegar a coronar con una probabilidad superior al 20% en el menor número posible de lanzamientos? yo elegiría 11 o 12 ya que existe una probabilidad del 22,56% de coronar en el primer intento (y esta es máxima para 11 o 12 monedas)

    pero si la pregunta es

    ¿Cuántas monedas escogería para tratar de llegar a coronar con una probabilidad superior al 90% en el menor número posible de lanzamientos? yo elegiría 3 ya que creo que en 8 tiradas la probabilidad es superior al 90%

    PD: Siempre y cuando no me haya confundido con la tabla que me he montado…

    1. Entiendo tu duda Guille, pero el problema está bien planteado así. Explicaré porqué en su momento (si nadie lo hace antes), que por ahora no quiero dar pistas.

  5. Hombre, cambiar el enunciado ahora es trampa! 🙂

    1. … pero supongo que podria hacerse…

  6. Os dejo un enlace al fichero un enlace

    https://docs.google.com/spreadsheet/ccc?key=0AnHd5hZ9-BYJdFp1bjNGQjdwODZUcVdtb2R2cDJYV0E&hl=en_US#gid=1

    Lo malo es que no se ven los comentarios que he puesto al subirlo al google docs 😦

    Intento ponerlo de otra forma

    1. Gracias Guille, te digo lo mismo que a Alex, ahora ando falto de herramientas para pararme a mirarlo todo con detenimiento.

  7. Buenos Días

    Guiile, veo que te has montado unas tablas recursivas para intentar calcular la probabilidad de que el peón alcance la casila “y” condicionado a que sea en la tirada “n”. Puedo observar que a partir de la tirada 1 las probabilidades no suman 100 por fila, y esto es correcto, porque hay que tener en cuenta de que existe una probabilidad de que la tirada “n” no se realice.

    La columna correspondiente a alcanzar la casilla 6 debe sumar 100, ya que el juego debe acabar en algún momento, y corresponde a groso modo a la probabilidad de coronar el peón en la tirada “n”, pero para ser puristas, deberiamos a partir de estas probabilidades condicionadas que tenemos calcular otra, que sería la probabilidad de que sea la tirada “n” condicionado a que alcanzamos la casilla “6”.

    A partir de aqui podríamos realizar dos cosas. Comprobar que tirada es la que tiene mayor probablidad de ser la que alcance la casilla “6” para “m” monedas. Otra posibilidad es calcular cual es la esperanza del número de tiradas para alcanzar la casilla “6”, pero el valor de la esperanza es un promedio que no tiene en cuenta la forma de la distribución de las probablidades y puede que no nos dé la mejor información para decidir cuantas monedas usar.

    Antes de terminar, felicitarte por tu buen trabajo.

    Un Saludo

    1. Hola Antonio,

      Antes de nada gracias por tus comentarios.

      Por filas y una vez que en n-1 se llega a un caso en que se ha avanzado 6 casillas efectivamente no suman 1, pero se puede hacer que sumen 1 para comprobar que el cálculo es correcto. Si añadimos a la fila el último caso y es que en la fila anterior n-1 hayamos avanzado ya 6 casillas * la probabilidad del resto de casos (avanzar 0, 1,…m casillas) tendremos todos los casos, es decir:
      P(6/n-1)*[P(1)+P(2)+…+P(m)]=P(6/n-1)*[1]=^(6/n-1) tendremos en la fila n todas las posibilidades y por lo tanto la fila suma 1. Esta comprobación es sencilla de realizar ya que es suficiente con sumar a la fila n la suma desde 1 hasta n-1 de la columna 6. (En las hojas de cálculo que compartí creo que había una columna que llame check donde hacía esta comprobación)

      Por último la columna 6 es una sucesión de infinitos términos que converge a 0, su suma vale 1… como en Excel no puedo sumar infinitos términos me he sumado los 65 filas que tiene y efectivamente se aproxima a 1.

      Me he estimado el número medio de tiradas (lo he estimado calculando la probabilidad P(n) para n=1,2,…100 primeras tiradas y multiplicando por n) que hay que hacer para coronar para los distintos m que he usado y obtengo los siguientes valores, no es exacto ya que me dejo la probabilidad de P(n>100), pero creo que es una buena aproximación ya que P(101) es prácticamente =0

      m=1 E[n]=12 (este era de esperar)
      m=2 E[n]=6,75
      m=3 E[n]=5,45
      m=4 E[n]=5,35
      m=5 E[n]=6,12
      m=6 E[n]=7,97
      m=12 E[n]>100

      A la vista de estos resultados yo elegiría m=4 si juego a este juego infinitas veces, pero como ya comenté si juego contra muchos oponentes elegiría m=12 ya que junto con m=11 maximiza las posibilidades de ganar en la primera tirada pero m=12 tiene más posibilidades de ganar en n=2 que m=11.

      El caso es que me hubiera gustado sacarlo de forma “analítica” pero no he visto una manera sencilla de sacar P(coronar/n), ya que creo que juegan muchas variables… Sinceramente estaba esperando a ver si nos dabas la solución analítica tu o Javi XD

      Un saludo a todos

  8. y cuando regresas de vacaciones????

    1. La semana que viene… pero yo también tengo que pararme a ver si mi solución está bien, así que paciencia!

  9. Hola Antonio,

    Antes de nada gracias por tus comentarios.

    Por filas y una vez que en n-1 se llega a un caso en que se ha avanzado 6 casillas efectivamente no suman 1, pero se puede hacer que sumen 1 para comprobar que el cálculo es correcto. Si añadimos a la fila el último caso y es que en la fila anterior n-1 hayamos avanzado ya 6 casillas * la probabilidad del resto de casos (avanzar 0, 1,…m casillas) tendremos todos los casos, es decir:
    P(6/n-1)*[P(1)+P(2)+…+P(m)]=P(6/n-1)*[1]=^(6/n-1) tendremos en la fila n todas las posibilidades y por lo tanto la fila suma 1. Esta comprobación es sencilla de realizar ya que es suficiente con sumar a la fila n la suma desde 1 hasta n-1 de la columna 6. (En las hojas de cálculo que compartí creo que había una columna que llame check donde hacía esta comprobación)

    Por último la columna 6 es una sucesión de infinitos términos que converge a 0, su suma vale 1… como en Excel no puedo sumar infinitos términos me he sumado los 65 filas que tiene y efectivamente se aproxima a 1.

    Me he estimado el número medio de tiradas (lo he estimado calculando la probabilidad P(n) para n=1,2,…100 primeras tiradas y multiplicando por n) que hay que hacer para coronar para los distintos m que he usado y obtengo los siguientes valores, no es exacto ya que me dejo la probabilidad de P(n>100), pero creo que es una buena aproximación ya que P(101) es prácticamente =0

    m=1 E[n]=12 (este era de esperar)
    m=2 E[n]=6,75
    m=3 E[n]=5,45
    m=4 E[n]=5,35
    m=5 E[n]=6,12
    m=6 E[n]=7,97
    m=12 E[n]>100

    A la vista de estos resultados yo elegiría m=4 si juego a este juego infinitas veces, pero como ya comenté si juego contra muchos oponentes elegiría m=12 ya que junto con m=11 maximiza las posibilidades de ganar en la primera tirada pero m=12 tiene más posibilidades de ganar en n=2 que m=11.

    El caso es que me hubiera gustado sacarlo de forma “analítica” pero no he visto una manera sencilla de sacar P(coronar/n), ya que creo que juegan muchas variables… Sinceramente estaba esperando a ver si nos dabas la solución analítica tu o Javi XD

    Un saludo a todos

    PD1: Lo vuelvo a enviar porque no se por qué no lo veo.
    PD: creo que no he visto un post que envié con un documento donde explicaba las tablas que colgué y que sería este (creo que tendría que modificarlo para incluir la solución que comento arriba den medio obtenido en función del m elegido) :

    https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0B3Hd5hZ9-BYJOWY3OTg1NzYtNmZiMi00OTNjLWI4YTAtYjU4N2I0YmM5ZWY2&hl=es

    1. Guille, no podías ver el mensaje porque enviaste antes uno con un enlace y desde entonces todos tus mensajes fueron víctimas del filtro anti-spam, ya lo he arreglado.

  10. Enlace del resumen de la simulación: https://docs.google.com/document/d/1ta-o_fbqwVvjxD1D-KOcBA7wUCBi_NDJqUN6pZnR3FE/edit?hl=es

    Aqui los resultados.

    Saludos,
    a.

    lex@zero:~/Dropbox/Public/Scripts$ for i in 1 2 3 4 5 6 7 8; do ./peones.pl $i 100000; done
    Media de movimientos para coronar con 1 monedas=11.0077
    Media de movimientos para coronar con 2 monedas=6.32419
    Media de movimientos para coronar con 3 monedas=5.35009
    Media de movimientos para coronar con 4 monedas=5.54077
    Media de movimientos para coronar con 5 monedas=6.21371
    Media de movimientos para coronar con 6 monedas=6.01353
    Media de movimientos para coronar con 7 monedas=7.04049
    Media de movimientos para coronar con 8 monedas=8.02446
    alex@zero:~/Dropbox/Public/Scripts$ for i in 1 2 3 4 5 6 7 8; do ./peones.pl $i 100000; done
    Media de movimientos para coronar con 1 monedas=11.01161
    Media de movimientos para coronar con 2 monedas=6.31087
    Media de movimientos para coronar con 3 monedas=5.36957
    Media de movimientos para coronar con 4 monedas=5.55903
    Media de movimientos para coronar con 5 monedas=6.21108
    Media de movimientos para coronar con 6 monedas=5.98459
    Media de movimientos para coronar con 7 monedas=7.02159
    Media de movimientos para coronar con 8 monedas=7.97411
    alex@zero:~/Dropbox/Public/Scripts$ for i in 1 2 3 4 5 6 7 8; do ./peones.pl $i 100000; done
    Media de movimientos para coronar con 1 monedas=10.99199
    Media de movimientos para coronar con 2 monedas=6.31631
    Media de movimientos para coronar con 3 monedas=5.3667
    Media de movimientos para coronar con 4 monedas=5.55107
    Media de movimientos para coronar con 5 monedas=6.22603
    Media de movimientos para coronar con 6 monedas=6.02092
    Media de movimientos para coronar con 7 monedas=7.02599
    Media de movimientos para coronar con 8 monedas=8.02267
    alex@zero:~/Dropbox/Public/Scripts$ for i in 1 2 3 4 5 6 7 8; do ./peones.pl $i 100000; done
    Media de movimientos para coronar con 1 monedas=11.01529
    Media de movimientos para coronar con 2 monedas=6.33438
    Media de movimientos para coronar con 3 monedas=5.36289
    Media de movimientos para coronar con 4 monedas=5.56684
    Media de movimientos para coronar con 5 monedas=6.20646
    Media de movimientos para coronar con 6 monedas=6.01947
    Media de movimientos para coronar con 7 monedas=7.02159
    Media de movimientos para coronar con 8 monedas=7.98617

    1. Alex, de las medias que sacas se parecen a las que he calculado de forma analítica (no se por qué no nos cuadran porque con 1 millón de lanzamientos deberían coincidir). Lo que más me extraña es m=1 ¿no debería ser 12? ¿Si yo tiro 1 moneda n veces, en media no debería tirar 12 veces para sacar 6 caras?…

      1. La media para m=1 es 12, pero esto es una simulación con un número limitado de intentos, por eso los valores no coinciden exactamente. Lo que no sabría valorar es si éstos difieren demasiado de la media o no, me falta experiencia en este tipo de estudios.

        1. Bueno, ahora que lo pienso para valorar esto se podría tirar de inferencia estadística, pero ya nos metemos en unos “fregaos” interesantes…

          1. I mean if it’s as easy as just lying i’ll tell them i’m an illegal immigrant and i need free money. sounds pretty unreal to me but the conservatives seem to know what they’re talking about. so where can i go to get all this free stuff?

    2. Alex, no se puede acceder al documento.

      1. https://docs.google.com/document/d/1ta-o_fbqwVvjxD1D-KOcBA7wUCBi_NDJqUN6pZnR3FE/edit?hl=ca

        Ya deberia poder verse el documento. Por favor, decidme donde me equivoco, porque me sigue dando que la mejor opcion es jugar con tres monedas.

        1. Creo que no te equivocas, ya te lo confirmaré. De todas formas de programación ando cortito, sólo estudié Pascal en primero, así que imagínate.

  11. Adjunto un documento donde comento como construyo la tabla de probabilidades para m=3. Por más que reviso no veo donde puede estar el fallo, además he confirmado las medias de jugadas para m=1,2,3,4,5 con una simulación que hago y se ajustan muchísimo. Si alguien quiere repasárselo y ver si le da lo mismo estaría agradecido https://docs.google.com/leaf?id=0Bw6MXn5bE55uZTViYzQ4N2ItZDMwNC00YjI4LWExMmEtZmU0YzI3MzIzYzg3&hl=es

    1. Está bien hecho Guille, el número de lanzamientos esperados para 3 monedas es 5,4477.

      1. Quizás me esté equivocando yo, pero… perderia generalidad el problema si en lugar de escoger m monedas, se escogiera un dado de m caras? o, en todo caso, un generador de numeros aleatorio que devolviera valores entre 0 y m?

        1. El problema no sería exactamente el mismo porque estaríamos utilizando sólo un dado o un generador aleatorio de valores, y lo interesante aquí es averiguar cuántas monedas tenemos que utilizar. Si pudiésemos escoger el número de dados a utilizar sí estaríamos ante un problema equivalente.

          1. Bien, el dado de mi ejemplo tiene una cara con el valor 0, se me olvidó decirlo. En el caso del dado, la elecció estaria en el número de caras del dado que elegimos (4 monedas seria un dado de 5 caras, porque, como dije, deberia incluir el cero)

            1. No te sigo, no sé qué quieres decir con “el número de caras del dado que elegimos”, ¿cómo utilizaríamos el dado?

              1. pues igual que las monedas, en lugar de sacarse m monedas del bolsillo, tirarlas y contar las caras, sacamos un dado de (m+1 caras) y lo tiramos. La cara adicional és el valor cero.

              2. Vale, quieres decir que escogemos de cuántas caras será el dado que tiremos… pues yo diría que el problema es equivalente, aunque aún más complicado, claro!

              3. Por cierto, imagínate los cálculos que habría que hacer si pudiésemos escoger el número de caras del dado y además el número de dados. O incluso que pudiésemos escoger varios dados de diferentes caras. Mejor ni te lo imagines.

            2. Creo que un dado con m+1 caras no es lo mismo ya que en un dado la probabilidad de m+1 caras la probabilidad de sacar 0,1,2,..,m es la misma y sería 1/m+1, mientras que en el lanzamiento de monedas las probabilidades de obtener 0,1,2…m caras varían en función de m. A modo de ejemplo para m=2 tenemos tenemos:
              P(0)=25%
              P(1)=50%
              p(2)=25%

              mientras que si lanzamos un dado de 3 caras (0,1,2) las probabilidades son:

              P(0)=P(1)=P(2)=1/3

              Un saludo

              1. Las probabilidades no son iguales, pero el problema en esencia sí lo es pues el planteamiento y los razonamientos que nos llevan al resultado son los mismos.

              2. Cierto! Gragias! he de modificar el script para que tenga en cuenta que la probabilidad no és uniforme.

      2. Javi, si eso es así, en principio con la que voy a obtener un E[n] menor sería con m=4 que obtenemos E[n]=5,35..

        De todas formas he echado carreras entre dos jugadores y el que gana es m=5 al resto… la explicación de esto creo que es debido a que m=5 es la elección que alcanza antes el 50% de probabilidades de haber ganado.

        Un saludo

  12. Aquí hay una ejecución de mi programa (en modo verbose) para una sola partida. En este caso hemos necesitado 12 tiradas para cornar. Parece que el proceso és correcto, no?

    ./peones.pl 3 1
    Estamos en posición: 2 y la suma de las caras es: 2
    Movemos el peón 2 posiciones
    Estamos en posición: 4 y la suma de las caras es: 1
    Movemos el peón 1 posiciones
    Estamos en posición: 5 y la suma de las caras es: 0
    Movemos el peón 0 posiciones
    Estamos en posición: 5 y la suma de las caras es: 1
    Movemos el peón 1 posiciones
    Estamos en posición: 6 y la suma de las caras es: 1
    Movemos el peón 1 posiciones
    Estamos en posición: 7 y la suma de las caras es: 0
    Movemos el peón 0 posiciones
    Estamos en posición: 7 y la suma de las caras es: 2
    Estamos en posición: 7 y la suma de las caras es: 3
    Estamos en posición: 7 y la suma de las caras es: 3
    Estamos en posición: 7 y la suma de las caras es: 3
    Estamos en posición: 7 y la suma de las caras es: 2
    Estamos en posición: 7 y la suma de las caras es: 1
    Alcanzada la posicion final en 12 tiradas
    Media de movimientos para coronar con 3 monedas=12

    1. El proceso es correcto, pero no puedes deducir de él que la media de movimientos para coronar con 3 monedas sea 12. Ésta es la media obtenida es para este caso concreto, haría falta jugar un número mayor de partidas para obtener una muestra de la variable aleatoria “número de movimientos”, como haces en los ejemplos anteriores, y aún así para poder asegurar que la media teórica (la que estamos buscando) es un valor muy cercano a la media muestral (la que obtienes con la simulación) haría falta hacer un estudio estadístico, como una estimación por intervalos de confianza o un contraste de hipótesis. Se puede hacer, pero ya es meterse en un jaleo interesante y además no es necesario para resolver el problema.

      1. Claaaaro, por eso juego 100.000 partidas para cada elección de m monedas…

        1. la cosa era, para cerciorarme que entendí las reglas de juego.

        2. Imaginaba que tú lo tenías claro, pero lo he señalado porque salía en la última línea del comentario y podía llevar a confusiones. Y probablemente no hiciese falta hacer 100.000 repeticiones, habría que calcularlo pero a lo mejor con 1000 ya tendrías suficientes para estimar el valor con una confianza más que aceptable.

          1. En el documento que adjunté en mi comentario del 25/09/2011 a 3:08 pm en la página 5 pongo los resultados de una simulación que hice con un millon de carreras para diferentes m y los comparo con las medias teóricas que he calculado, yo creo que los resultados se pueden considerar buenos.

            Echarles un vistazo a ver que os parecen

          2. Guille, así a primera vista parece coherente lo que escribes, ya te comenté en FB que sólo hay una discrepancia entre mis cálculos y los tuyos para m=4 y que tengo que volver a repasar mis cuentas a ves si soy yo el que se ha equivocado. Estoy trabajando en ello (los ratos que puedo) y en la solución que yo propondré, cuando la tenga la publicaré, pero aún tardaré bastante.

            1. Ok,

              Si tienes tus cálculos para m=4 en una hoja de cálculo y quieres pásamela (will198@gmail.com) y la echo yo un vistazo también.

              Un saludo

              1. Qué va, los hice a mano y usando una página para resolver sistemas de ecuaciones, yo soy así de rústico 😀

              2. Ya está, me da 5,3529, era yo el que lo tenía mal. Pues genial, podemos conjeturar que la respuesta es 4 monedas, pues a partir de este valor el número de lanzamientos esperados para coronar crece.

                Estoy terminando de editar un documento con la solución que yo he buscado (que da los mismos resultados que la tuya, obviamente), a ver si lo acabo un día de estos y lo subo.

  13. ¿Alguien me da unas patatas fritas? (para comerme mi elección y defensa a sangre de m=3 con ellas)

    Incorporando a la simulación el tiro de m monedas, done es mas probable la aparición de valores ‘centrales’ que ‘extremos’, la cosa queda:

    for i in 1 2 3 4 5 6 7 8; do ./peones.pl $i 10000 8; done
    Media de movimientos para coronar con 1 monedas=11.9747
    Media de movimientos para coronar con 2 monedas=6.7149
    Media de movimientos para coronar con 3 monedas=5.4208
    Media de movimientos para coronar con 4 monedas=5.3648
    Media de movimientos para coronar con 5 monedas=6.1453
    Media de movimientos para coronar con 6 monedas=7.9681
    Media de movimientos para coronar con 7 monedas=11.4788
    Media de movimientos para coronar con 8 monedas=17.2867
    alex@zero:~/Dropbox/Public/Scripts$ for i in 1 2 3 4 5 6 7 8; do ./peones.pl $i 100000 8; done
    Media de movimientos para coronar con 1 monedas=11.99541
    Media de movimientos para coronar con 2 monedas=6.72972
    Media de movimientos para coronar con 3 monedas=5.45105
    Media de movimientos para coronar con 4 monedas=5.3609
    Media de movimientos para coronar con 5 monedas=6.13005
    Media de movimientos para coronar con 6 monedas=7.99788
    Media de movimientos para coronar con 7 monedas=11.50241
    Media de movimientos para coronar con 8 monedas=17.26829

    1. Tiene buena pinta, se acerca muchísimo a mis resultados salvo para el caso m=4, que aún tengo que repasar.

    2. He comparado tus resultados con los que obtengo yo de manera teórica (Pg. 5 del doc que adjunto en mi comentario de 25/09/2011 a 3:08 pm) y la verdad es que son muy similares. Las diferencias aparecen a partir del 3 decimal (igual que las simulaciones que hice yo), así que creo que coincido con tus resultados

      Un saludo

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Blog de matemáticas para los alumnos de 2º de ESO del Colegio Marcelo Spínola

Historias de la Historia

La historia contada de otra forma

Cuentos Cuánticos

Un sitio donde los cuentos de ciencia están contados y no contados al mismo tiempo

El escéptico de Jalisco

"Usted tiene perfecto derecho a elegir entre conocer las matemáticas o no, pero debe ser consciente de que, en caso de no conocerlas, podrá ser manipulado más fácilmente." John A. Paulos

Los Matemáticos no son gente seria

"Usted tiene perfecto derecho a elegir entre conocer las matemáticas o no, pero debe ser consciente de que, en caso de no conocerlas, podrá ser manipulado más fácilmente." John A. Paulos

Francis (th)E mule Science's News

La Ciencia de la Mula Francis. Relatos breves sobre Ciencia, Tecnología y sobre la Vida Misma

El mundo de Rafalillo

"Usted tiene perfecto derecho a elegir entre conocer las matemáticas o no, pero debe ser consciente de que, en caso de no conocerlas, podrá ser manipulado más fácilmente." John A. Paulos

Mati, una profesora muy particular

"Usted tiene perfecto derecho a elegir entre conocer las matemáticas o no, pero debe ser consciente de que, en caso de no conocerlas, podrá ser manipulado más fácilmente." John A. Paulos

Hablando de Ciencia

La Ciencia al Alcance de tu mano

Tito Eliatron Dixit

"Usted tiene perfecto derecho a elegir entre conocer las matemáticas o no, pero debe ser consciente de que, en caso de no conocerlas, podrá ser manipulado más fácilmente." John A. Paulos

Gaussianos

Porque todo tiende a infinito...

La Ciencia y sus Demonios

La primera gran virtud del hombre fue la duda y el primer gran defecto la fe (Carl Sagan)

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