Completando la colección: cromos de béisbol, enfermedades y denegación de servicio


OPINIÓN por JOHN ALLEN PAULOS
2 de Octubre de 2011

Lanzar un dado hasta que salen los seis números, tener hijos hasta tener uno de cada sexo y completar la colección de cromos de béisbol son tres ejemplos de un cierto tipo de tareas compartimentadas.

Para completar una tarea de este tipo es necesario realizar varias subtareas. Si las probabilidades de realizar esas varias tareas son las mismas, con algunas matemáticas relativamente sencillas podemos hacernos una idea de cómo de larga o extensa será la tarea completa.

Para ilustrar esto comencemos con un dado. ¿Cuántas veces tiene que lanzarlo como término medio hasta que cada uno de los seis números aparece por lo menos una vez?

Las matemáticas de completar colecciones

Para contestar esta pregunta se necesitan un par de ideas, alguna de ellas bastante sencilla.

Suponga que la probabilidad de que ocurra algún suceso o resultado de interés y que las repeticiones de los intentos de obtener el resultado no afectan a la probabilidad de intentos posteriores. Entonces se puede probar que, como media, necesitaremos 1/p intentos para obtener el resultado.

Esto así suena complicado, así que volvamos al ejemplo del dado. Como lanzar un dado genera aleatoriamente números del 1 al 6, la probabilidad de obtener un número determinado, por ejemplo el 2, es 1/6, por tanto de media necesitaremos 1/(1/6) o 6 lanzamientos para obtener un 2. Por término medio necesitaremos también 6 lanzamientos para obtener un 5 y así sucesivamente. Por el contrario, la probabilidad de obtener un número impar, el 1, el 3 o el 5, es 3/6, luego por término medio necesitaremos 1/(3/6) o 2 lanzamientos del dado para obtenerlo.

La segunda idea se construye sobre la primera. El primer lanzamiento de un dado necesariamente nos da un número que no ha salido antes. Tras haber obtenido este primer número (sea cual sea), la probabilidad de que obtengamos un número diferente es 5/6 ya que queremos que salga uno de los 5 números que no ha salido. El número medio de lanzamientos adicionales hasta que un segundo número aparece es entonces 1/(5/6) o 6/5. Después de obtener dos números diferentes, la probabilidad de obtener un tercer número distinto a los dos primeros es 4/6, y así la media de lanzamientos adicionales hasta que aparezca es 1/(5/6) o 6/4. Si seguimos por este camino hasta que los 6 números hayan salido y sumando los resultados tenemos que hacen falta (1+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1) o 14,7 lanzamientos de media para obtener los seis. Inténtelo unas cuantas veces.

Otras aplicaciones

Las mismas operaciones básicas responden las otras preguntas planteadas.

Una pareja planea seguir teniendo hijos hasta tener uno de cada sexo y se pregunta cuántos hijos es más probable que tengan. O un coleccionista de cromos de béisbol se pregunta cuántos chicles probablemente tendrá que comprar para completar una colección de 400.

La respuesta para el número medio de niños es 3. El primer niño será necesariamente de un sexo no obtenido anteriormente. Tras el primer niño, la probabilidad de tener un niño del sexo contrario es de 1/2, así que se necesitarán de media 1/(1/2) o 2 niños más para obtener uno de cada sexo. (3=1+1/(1/2)=1+2).

Del mismo modo, el número medio de cromos de béisbol necesarios para obtener la colección completa es 1+1/(399/400)+1/(398/400)+1/(397/400)+…++1/(2/400)++1/(1/400), que da más de 2.000. El último término 1(1/400) o 400 refleja la dificultad de conseguir este cromo perdido, probablemente un oscuro utility infielder, para completar su colección.

Un poco más lejos

Si relajamos la exigencia de la igualdad de probabilidades para resultados diferentes, conseguimos más aplicaciones prácticas. Un ejemplo raro aparece en los denominados “ataques de denegación de servicio” en una red informática.

Aquí un atacante envía repetidamente paquetes de información parcial (partes de un archivo, quiero decir) a un sitio web con objeto de inundarlo y dejarlo inutilizable. Cuando se recibe al menos un paquete de cada uno, el sitio vuelve a montar estos paquetes que llegan aleatoriamente en un archivo completo. Se puede calcular cuánto tarda un archivo completo (o unos cuantos) en viajar desde el atacante al sitio de destino utilizando más o menos las mismas matemáticas que antes.

Las matemáticas también pueden ayudar a al víctima a localizar al atacante. Si cada uno de los routers que hay a lo largo del camino que siguen los paquetes de información los marca electrónicamente, entonces se puede calcular cuánto tarda el sitio de destino en recibir todo el conjunto de paquetes marcados, y  a veces se deduce la localización del atacante  del camino tomado.

Otro posible ejemplo es una enfermedad que necesita de al menos un número determinado de asaltos diferentes y continuos sobre el cuerpo. Una vez se han conseguido todos, por decirlo así, la enfermedad se desarrolla.

Dados, niños, cromos de béisbol, ataques de denegación de servicio y enfermedades dan testimonio de la naturaleza imperialista de las matemáticas, que envía colonias a casi todas las disciplinas y proyectos.

John Allen Paulos, profesor de matemáticas de la Universidad de Temple en Filadelfia, es autor de best sellers como “El hombre anumérico, “Un matemático lee el periódico” o “Un matemático invierte en bolsa”. Está en Twitter y su columna “Who’s Counting?” en ABCNews.com aparece regularmente aquí.

Lo tradujo  Javier Oribe Moreno para El Máquina de Turing.

Puede consultar el artículo original aquí.

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