Historias de un profe novato: tres múltiplos de 11 y una probabilidad de 7 entre 10.000


Por Javier Oribe para El Máquina de Turing

Hace pocos días me ocurrió algo bastante curioso dando una clase particular. Estaba hablando de los criterios que existen para saber si un número es divisible por otro, como por ejemplo por 3, 5 u 11, y se me ocurrió explicarle también a Mónica, mi alumna, una forma muy sencilla de averiguar esto usando calculadora: basta con dividir un número por el otro y si el resultado es un número natural, entonces el segundo es divisor del primero.

Quise ponerle un ejemplo para que lo viera y escogí al azar un número de tres cifras, el 253. Fui a dividirlo con la calculadora y cuando le dí al resultado resultó 253/11=23, es decir, que 11 era divisor de 253. Sin darle mayor importancia escogí un segundo número al azar, esta vez el 528, y para mi sorpresa también resultó ser múltiplo de 11, pues 528/11=48 (supongo que los lectores más avezados habrían sido capaces de reconocer que ambos números son divisibles por 11 antes de teclearlos en la calculadora, pero por fortuna mi legendaria incapacidad para el cálculo rápido ayudó a mantener la sorpresa hasta el final).

Le dije entonces a Mónica que la probabilidad de escoger dos números de tres cifras al azar y que ambos fuesen múltiplos de 11 debía ser bastante pequeña, y por tanto habíamos asistido a un fenómeno cuanto menos curioso. Le pedí que escogiera ella un tercer número de tres cifras para poder mostrarle cómo se reconoce en la calculadora uno no divisible por 11, y entonces escogió el 627, que al dividirlo por 11 da exactamente 57. En ese momento no pudimos más que echarnos a reír (sí, en una clase de matemáticas, qué pasa).

Al final escogí un tercer número, el 554, y este sí resultó al fin no ser divisible por 11, pues 554/11=50,363636… y así pude mostrarle a Mónica cómo en este caso el resultado no es un número natural. Como también le prometí que le calcularía cuál es la probabilidad de que ocurriera lo que acabábamos de ver, y lo prometido es deuda, ahí van esas cuentas que demuestran que aquello fue algo bastante extraordinario.

El suceso del que queremos conocer su probabilidad es “escoger consecutivamente tres números de tres cifras distintos de tal forma que los tres sean múltiplos de 11”. Para hacerlo recurriremos a la Regla de Laplace, que nos dice que la probabilidad de que ocurra un suceso se obtiene dividiendo el número de formas en las que el suceso puede aparecer entre el número total de sucesos que pueden darse. Esto suena un poco raro pero es sencillo, verán:

Como lo que estábamos haciendo es escoger tres números de tres cifras, para saber el número total de sucesos que pueden darse lo que tenemos que hacer es contar cuántos números de tres cifras hay y de cuántas maneras podemos escoger tres de ellos de forma consecutiva y sin repetir ninguno.

Como hay 900 números de tres cifras (999-100=899, pero sumamos 1 más pues incluimos el 100), tenemos 900 formas de escoger el primer número. El segundo número podrá ser cualquiera de los 899 números que nos quedan, y como además por cada uno de los 900 primeros podemos hacer 899 elecciones diferentes, tendremos 900×899 maneras de escoger los dos primeros números. Razonando de la misma manera, como para cada una de las parejas de primer y segundo número que escojamos podemos elegir entre 898 números más, el número de tríos de números diferentes de tres cifras que podemos hacer es de 900x899x898 = 726.571.800, casi nada.

Por otro lado, el suceso que ocurrió y que queremos comprobar si es tan raro como parece consistía en escoger tres números de tres cifras distintos y que los tres resultasen ser múltiplos de 11. Para conocer el número de formas en las que este suceso puede ocurrir sólo tenemos que contar el número de múltiplos de 11 que hay entre 100 y 999 y de cuántas maneras podemos escoger sucesivamente tres de ellos sin repetir ninguno.

Averigüemos primero cuántos múltiplos de 11 hay entre los 999 primeros números naturales. Como los múltiplos de 11 son los números que ocupan la posición 11, la 22, la 33, la 66, etcétrera, para conocer el número de múltiplos de once basta con averiguar en cuántos subconjuntos de 11 números podemos dividir los 999 primeros, y esto es tan sencillo como dividir 999 entre 11. Como el resultado es 90,81  podemos concluir que hay 90 múltiplos de 11 comprendidos entre el número 1 y el 999. Aplicando el mismo razonamiento encontramos que hay 9 múltiplos de 11 entre el 1 y el 99, por lo que en total tenemos 90-9=81 múltiplos de 11 comprendidos entre el 100 y el 999. Finalmente, si aplicamos el mismo razonamiento que antes veremos que hay 81x80x79=511.920 formas de escoger consecutivamente tres múltiplos de 11 de tres cifras.

Ya solo nos queda aplicar la regla de Laplace para obtener que la probabilidad de escoger al azar tres múltiplos de 11 de entre todos los números de tres cifras, sin repetir ninguno y de forma consecutiva, es aproximadamente 511.920/726.571.800=0,0007; es decir, del 0,07%, de 7 entre 10.000 o si lo prefieren de 1 entre 1.428 (10.000/7).

A menos que ustedes sean de los que piensan que tienen serias posibilidades de acertar un Euromillón, estarán de acuerdo conmigo en que esta probabilidad es realmente pequeña, tanto como para que la situación fuese divertida. Por lo menos para un profe novato y su alumna.

Lo publicó Javier Oribe Moreno en El Máquina de Turing

10 comentarios

  1. Me ha parecido un anécdota genial!! Esta es la magia de las Matematicas.

  2. Me ha gustado la anécdota, me supuso un mini respiro de estar encerrado en la biblioteca de la fac de mates.
    Un saludo a todos

  3. Diria que se explica lo sucedido acudiendo a la ley de Murphy: querias demostrar que un número tomado al azar no era divisible por 11, claramente podia no salirte bien ya que lo tomabas al azar, y aunque la probabilidad de que saliera mal es pequeña, ya sabemos que “Si algo puede salir mal, saldrá mal”😉

  4. Gracias por vuestros comentarios!

  5. El planteamiento es semánticamente incorrecto: se puede escoger una bola al azar de entre un número N que estén metidas en un bombo, pero decidirse por un número de 3 cifras de todo el rango que uno tiene en la mente, que van de entre el 100 y el 999, no es escoger al azar. Saludos

    1. Quizá para un lingüista sea así, pero los matemáticos nos caracterizamos por saber modelizar situaciones que no son realizables en la práctica y tratarlas como si fueran reales. Y menos mal, porque si no a ver cómo podríamos contar hasta 21 teniendo sólo 20 dedos.

      Y por otra parte, aceptando que si escogemos un número pensando en él escogeremos unos números con mayor facilidad que otros el experimento sigue siendo aleatorio, lo que ocurre es que los sucesos no son equiprobables.

      Saludos.

      1. Evidentemente, las matemáticas son abstractas, así que no te haca falta ningún dedo para contar hasta el infinito.

        ¿Escoges un número de tu propia mente al azar? No creo.

        Saludos

  6. cuales son los multiplos de 7 hasta el 970

  7. holaaaa espara mañana

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