¿Hay partes en un metro que no se pueden medir?


Cinta_metrica_2012_002

****Por alguna misteriosa razón las fórmulas que ilustraban esta entrada han desaparecido en algunos navegadores, espero poder arreglarlo pronto. Mil perdones.****

En general la idea de medir no tiene mucho misterio. En nuestra vida diaria el concepto de algo que no se pueda ser medido se reduce a no tener un metro lo suficientemente largo o un reloj lo bastante preciso. Sin embargo, la Teoría de la Medida nos demuestra que existen cosas que no se pueden medir por mucho que uno intente ponerles una cinta métrica encima. Incluso podemos encontrarnos con partes del mismo metro imposibles de medir. ¿No se lo creen? Les convenceré mostrándoles este ejemplo atribuido a Hausdorff*.

Para empezar aclararemos que, en la teoría de la medida, la medida que representa el concepto que tenemos todos de lo que podemos medir con un metro es la denominada medida de Lebesgue, que en el caso de la recta real mide la distancia entre dos puntos a y b restando el menor al mayor**

Como podemos ver esta es la distancia que todos entendemos que hay entre ambos puntos.

Consideremos la parte de una cinta métrica comprendida entre cero y un metro o, para utilizar un lenguaje más formal, en la recta real el intervalo cerrado [0,1]. Agrupemos los números que forman este intervalo utilizando la siguiente relación de equivalencia:

Es decir, dos números x e y estarán en la misma clase de equivalencia (en el mismo “cajón”) si su diferencia es un número racional. Pues bien,  si escogemos un representante de cada clase de equivalencia y los agrupamos en un conjunto que llamaremos A

resulta que este conjunto no es medible Lebesgue, o dicho de otra forma, no puede ser medido usando un metro. Ojo que esto no quiere decir que tenga “longitud cero”, como podría deducirse erróneamente del hecho de que A esté compuesto por conjuntos cuya medida es cero (sus elementos son puntos, no intervalos), significa literalmente que no es posible saber qué longitud tiene. Veamos por qué.

Supongamos que A es medible Lebesgue. Consideremos la familia de conjuntos

en la que cada elemento está formado por el conjunto A más un número racional del intervalo [-1,1]. Esta familia está bien definida, pues el conjunto de los números racionales es numerable, y además tiene infinitos elementos: uno por cada número racional de [-1,1]. Señalaremos que, como por hipótesis A es medible Lebesgue, cada uno de los elementos de la familia F es medible Lebesgue. Si consideramos un punto x cualquiera del intervalo [0,1] éste debe pertenecer a alguna clase de equivalencia, lo que significa que la diferencia entre x y el representante de su clase de equivalencia debe ser un número racional (de hecho será un número racional del intervalo [-1,1])

Por tanto hay un número natural p tal que

lo que significa que x está en algún conjunto de la familia F, y como x es un punto cualquiera de [0,1], tenemos que

Además tenemos que los elementos de F son disjuntos, pues si no lo fueran existiría un z perteneciente a al menos dos de ellos y se tendría que

Forzosamente u y v deben ser distintos, pues si no lo fueran

en contra de lo que hemos supuesto. Como u y v son distintos resulta que

por lo que u y v pertenecen a la misma clase de equivalencia. Pero esto es una contradicción, pues en ese caso serían ambos el representante de su clase escogido para formar parte de A y eso significaría que u y v son iguales. En definitiva, se tiene que tal elemento z no puede exisistir y por tanto

Entonces podemos afirmar de la unión numerable de todos los elementos de F será la suma de las medidas de cada elemento de F, y como la medida de Lebesgue de [0,1] es 1, tenemos que

Es decir, la suma de las medidas de cada elemento de F es mayor o igual a uno (en realidad lo que nos interesa saber es que en particular es mayor que cero). Como la medida de Lebesgue es invariable por traslaciones, es decir, si a un conjunto con una medida de Lebesgue determinada le sumamos un punto la medida no varía, obtenemos que

por lo tanto la medida de cada elemento de F coincide con la medida de A. Como la suma de todas estas medidas es mayor que cero, la de A debe ser también mayor que cero, y así como cada uno de los elementos de F tiene medida mayor que cero y hay un número infinito de ellos su suma debe resultar infinita

Paremos un momento a recopilar información antes de continuar. Hemos supuesto que A es medible Lebesgue, hemos demostrado que en este caso su medida es mayor que cero y además hemos  definido una familia de conjuntos asociados a A tales que la suma de sus medidas es infinita.

Pues bien, consideremos un punto w perteneciente a algún elemento de la familia F, por ejemplo

Debe existir un elemento z de A tal que

Entonces

es decir, w pertenece al intervalo [-2,2] y por tanto

Cuando un conjunto medible esta contenido en otro, su medida es a lo sumo igual que la del conjunto que lo contiene, pero la medida de Lebesgue de la unión de los elementos de F es infinita y la del intervalo [-2,2] es 4, lo que significa que hemos llegado a una contradicción bastante espectacular, por cierto):

Por tanto la hipótesis de la que hemos partido no puede ser cierta, es decir, A no es un conjunto medible Lebesgue.

En definitiva, en cualquier metro de los que tenemos en casa podemos encontrar un conjunto que ni el mismo metro puede medir. Qué cosas tienen las matemáticas ¿verdad?

I love this game

Esta entrada participa en la Edición 4.12 del Carnaval de Matemáticas que se celebra en High Ability Dimension.

*El ejemplo (y la referencia a Hausdorff) lo encontré en el libro “Análisis Matemático V”, tomo 2, Manuel Valdivia Ureña, editado por la Universidad Nacional de Educación a Distancia.

**Cuando tratamos con la medida de Lebesgue se verifica que

Si tiene algo que decir, éste es el momento

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