¿Derivadas trigonométricas? Mejor en radianes.


Cualquiera que haya estudiado matemáticas a un nivel preuniversitario, sabe, o debería saber (un saludo desde aquí a mis antiguos alumnos de Bachillerato), que los argumentos de las funciones trigonométricas deben expresarse en radianes en lugar de grados. Con toda seguridad, también recordarán aquello de “la derivada del seno es el coseno”, esto es, que si f(x)=\sin x entonces f'(x)=\cos x. Lo que apuesto a que no saben muchos de ustedes es que esta fórmula no siempre es correcta: sólo es válida si la variable independiente x representa un ángulo medido en radianes. Si el ángulo está medido en grados y derivamos así, lo estaremos haciendo mal.  ¿Cómo es esto posible? Vamos a verlo. 

Lo primero que haremos será recordar de dónde viene eso de “la derivada del seno es el coseno”. La definición de derivada de una función en un punto nos dice que, si f es una función derivable en un punto a, entonces su derivada en a es:

\displaystyle f'(a)=\lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}

Haciendo el cambio de variable h=x-a, tenemos una expresión que resulta más manejable para calcular la función derivada de de f:

\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Utilizando la función seno y sustituyendo el valor concreto a por uno genérico x, nos queda:

\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{\sin (x+h)-\sin(x)}{h}

Observación: h, x y a son, en el caso que nos ocupa, argumentos de razones trigonométricas relacionadas mediante h=x-a, por lo que deben estar medidas en las mismas unidades (esto es algo que utilizaremos al final de la entrada).

Continuamos utilizando la fórmula de la diferencia de dos ángulos:

\sin A - \sin B =2\cos \frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}

Llamando  a x+hBx, nos queda:

\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{2\cos \frac{x+h+x}{2}\sin\frac{x+h-x}{2}}{h}=\lim_{h\to 0} \frac{2\cos \frac{2x+h}{2}\sin\frac{h}{2}}{h}

Este límite lo podemos escribir también así:

\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{\cos \frac{2x+h}{2}\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}

Y al sustituir por 0 tenemos que:

\displaystyle f'(x)= \frac{\cos \frac{2x}{2}\sin\frac{0}{2}}{\frac{0}{2}}=\cos x \cdot \frac{0}{0}

que es una indeterminación. Sabemos, porque hemos estudiado mucho y nos conocemos bien los infinitésimos equivalentes, que

\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1

y por tanto, debería ser

f'(x)= \cos \frac{2x}{2}=\cos x

Hasta aquí hemos reproducido la demostración de la fórmula de la derivada de la función seno que se enseña en los cursos de Bachillerato, en los que no se le da más  vueltas al asunto. Pero aquí hay una cosa que estamos pasando por alto. Estamos utilizando el infinitésimo \sin x \sim x, pero ¿de dónde viene este infinitésimo? ¿Por qué podemos usarlo aquí?

Si nos preguntamos por la veracidad de la expresión \frac{\sin x}{x} \to 1 cuando x\to 0, la primera idea que nos viene a la cabeza es aplicar la regla de L’Hôpital. Derivamos el numerador y el denominador y obtenemos:

\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\cos x}{1}=\cos 0=1

Parece que todo ha salido bien y que la expresión es correcta, pero, en el contexto de lo que estamos intentando demostrar aquí, estamos cometiendo un error grave. Párense un rato a pensar a ver si se dan cuenta de cuál es.

En efecto, estamos intentando demostrar que la derivada de \sin x es \cos x, pero al aplicar la regla de L’Hôpital hemos derivado, precisamente, \sin x… ¡Y no hemos probado aún que es \cos x!  Estamos usando algo que aún no hemos comprobado que funciona para demostrar que ese algo funciona: está claro que eso no tiene ningún sentido. Debemos, por tanto, tomar otro camino para confirmar que el infinitésimo es válido.

Observemos la siguiente figura:

arco

Los triángulos ABE ACD están construidos sobre una circunferencia de radio 1, de tal forma que las longitudes de los segmentos AB AD  valen ambas 1. Consideremos que la medida del ángulo A se corresponde con la variable independiente x. En ese caso, sabemos que los catetos opuestos de ambos triángulos miden \sin x\tan x, respectivamente.

La clave está en determinar cuánto vale la longitud a del arco de circunferencia que va de a E. La fórmula para obtener a es bastante fácil de deducir: el radio de la circunferencia donde se encuentra el arco es 1, luego la longitud de la circunferencia completa será L=2\pi . Si esta medido en radianes, la longitud del arco se obtiene dividiendo L en 2\pi partes iguales (recordemos que un ángulo llano midepi radianes) y tomando x de esas partes, con los que tendríamos que

a=x

En este caso, observando la figura podemos afirmar que, si x\to 0,

\sin x \leq x \leq \tan x

Dividimos la expresión por \sin x , invertimos cada miembro, y tenemos en cuenta que \frac{\sin x}{\tan x}=\cos x para obtener:

1\geq \dfrac{\sin x}{x}\geq \cos x

Finalmente, como \displaystyle \lim_{x\to 0} 1=\lim_{x\to 0} \cos x=1, por el “teorema del sándwich” tenemos que:

\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1

Ahora sí podemos utilizar el infinitésimo \sin x \sim x y afirmar que la derivada de \sin x es, en efecto, la función \cos x.

Sin embargo, si estuviese medido en grados, el valor de sería el resultado de dividir la longitud de la circunferencia en 360 partes iguales y tomar x de esas partes, esto es:

\displaystyle a=\frac{2\pi\cdot x}{360}

Así,

\displaystyle \sin x \leq \frac{2\pi\cdot x}{360} \leq \tan x

y, siguiendo los mismos pasos que antes, llegaríamos a que

\dfrac{360}{2\pi}\geq \dfrac{\sin x}{x}\geq \dfrac{360}{2\pi}\cdot \cos x

y por tanto

\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}=\dfrac{360}{2\pi}

con lo que la derivada de la función f(x)=\sin x quedaría:

f'(x)=\dfrac{360}{2\pi}\cos x

Pues ahí lo tenemos, por sorprendente que parezca, la derivada del seno es el coseno si el ángulo x está medido en radianes, y no en grados.

Ah, pero la cosa no acaba aquí. Algún avezado lector podría estar cayendo ahora mismo en la cuenta de que esta no es la única manera de encontrar la derivada de la función seno. En efecto, si utilizamos estas maravillosas definiciones que nos dejó Euler:

\displaystyle \cos x =\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \qquad \sin x =\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}

tenemos que:

\displaystyle (\sin x)' =\frac{ie^{ix}+ie^{-ix}}{2i}= \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}=\cos x

Parece que nos hemos quitado el problema de en medio, pero no. Hemos usado que (e^{ix})'=ie^{ix} y eso, amigos míos, hay que demostrarlo también.

Se trata de la derivada de una función de variable compleja, pero por suerte la variable independiente es un número imaginario puro, así que podemos calcular su función derivada mediante el límite

\displaystyle (e^{ix})'=\lim_{h\to 0}\frac{e^{i(x+h)}-e^{ix}}{h}=e^{ix}\lim_{h\to 0}\frac{e^{ih}-1}{h}

Utilizando que e^{ih}=\cos h+i\sin h (de nuevo, Euler) tenemos:

\displaystyle (e^{ix})'=e^{ix} \lim_{h\to 0} \left( \frac{\cos h+i\sin h-1}{h} \right )

Luego

\displaystyle (e^{ix})'=e^{ix} \left(\lim_{h\to 0} \frac{\cos h}{h} +i\lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h}-\lim_{h\to 0} \frac{1}{h}\right )

y esta suma de límites da como resultado \displaystyle (e^{ix})'=ie^{ix}, como hemos visto ya, gracias a que está medido en radianes. Luego, teniendo en cuenta la observación que hicimos anteriormente, debe estar  también medida en radianes.

Así que, ya saben: si van a derivar, asegúrense de estar midiendo en radianes.

 

Sevilla, noviembre de 2017

Esta entrada participa en la edición 8.6 del Carnaval Matemático, cuyo anfitrión es, en esta ocasión, Matemático Soriano

 

 

 

 

Anuncios

5 comentarios

  1. Creo que en la definición de derivada hay un error f'(a) = lim f(x) – f(a) / x -a y en la entrada pone f(x-a) – f(a).

    1. Arreglado. La entrada me parece muy interesante.

      1. Muchas gracias por avisar, se me había colado.

  2. Antonio Vargas Rey |Responder

    Cuando habla del ángulo medido en radianes, por definición:
    valor de a = valor de x
    (“a” en unidades de longitud y “x” en radianes).
    (No conviene hablar de “dividir la circunferencia en 2π partes y coger x” lo que nos podría llevar a algo como a=x/2π).

    Al hablar de grados sexagesimales deberemos hacer un cambio de variable, y ese ángulo x pasaría a ser:
    y=x*360/2π, o lo que es lo mismo a=x=2π*y/360

    cambio que deberemos realizar también en el límite y nos quedaría
    límite cuando y->0 de 360/2π*[sin(2π*y/360)/y]

    con lo que, al utilizar el “tma del sándwich” el límite sería 1.

    P.D.: Disculpe la notación.

    1. “Cuando habla del ángulo medido en radianes, por definición:
      valor de a = valor de x
      (“a” en unidades de longitud y “x” en radianes).”

      Eso no es un problema. La definición de radián dice que este es la medida del ángulo correspondiente al arco de circunferencia de longitud igual al radio de la misma, lo que establece una relación biunívoca entre unidades de longitud y radianes.

      “(No conviene hablar de “dividir la circunferencia en 2π partes y coger x” lo que nos podría llevar a algo como a=x/2π).”

      ¿Por qué no, qué problema hay? El arco de circunferencia correspondiente con sector circular de ángulo 1 radián y radio 1/(2pi) cm es de 1/(2pi) cm, no veo dónde está la contradicción.

      “Al hablar de grados sexagesimales deberemos hacer un cambio de variable”

      ¿Por qué? Las razones trigonométricas están perfectamente definidas en grados sexagesimales, tal cambio no es necesario: podemos suponer que x está medida en grados sin pérdida de generalidad. Además, aunque no se expresa explícitamente, estamos actuando por reducción al absurdo, suponiendo que la expresión de x se puede hacer en grados sexagesimales. Si no lo hacemos, la demostración carece de sentido.

      “(…) y ese ángulo x pasaría a ser:
      y=x*360/2π, o lo que es lo mismo a=x=2π*y/360
      cambio que deberemos realizar también en el límite y nos quedaría
      límite cuando y->0 de 360/2π*[sin(2π*y/360)/y]
      con lo que, al utilizar el “tma del sándwich” el límite sería 1.”

      Si aceptamos que el cambio de x (radianes) a y (grados) es necesario, hay un error en el proceso que describe, pues el denominador del límite al que llega queda multiplicado por 2pi/360, lo que lleva a que el límite sea 1*360/(2pi), como expongo en la entrada.

      Espero haber resuelto sus dudas, muchas gracias por su interés y sus comentarios.

      Un saludo.

Si tiene algo que decir, éste es el momento

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s

Matemáticas 2º de ESO

Blog de matemáticas para los alumnos de 2º de ESO del Colegio Marcelo Spínola

Historias de la Historia

La historia contada de otra forma

Cuentos Cuánticos

Un sitio donde los cuentos de ciencia están contados y no contados al mismo tiempo

El escéptico de Jalisco

"Usted tiene perfecto derecho a elegir entre conocer las matemáticas o no, pero debe ser consciente de que, en caso de no conocerlas, podrá ser manipulado más fácilmente." John A. Paulos

Los Matemáticos no son gente seria

"Usted tiene perfecto derecho a elegir entre conocer las matemáticas o no, pero debe ser consciente de que, en caso de no conocerlas, podrá ser manipulado más fácilmente." John A. Paulos

Francis (th)E mule Science's News

La Ciencia de la Mula Francis. Relatos breves sobre Ciencia, Tecnología y sobre la Vida Misma

El mundo de Rafalillo

"Usted tiene perfecto derecho a elegir entre conocer las matemáticas o no, pero debe ser consciente de que, en caso de no conocerlas, podrá ser manipulado más fácilmente." John A. Paulos

Mati, una profesora muy particular

"Usted tiene perfecto derecho a elegir entre conocer las matemáticas o no, pero debe ser consciente de que, en caso de no conocerlas, podrá ser manipulado más fácilmente." John A. Paulos

Hablando de Ciencia

La Ciencia al Alcance de tu mano

Tito Eliatron Dixit

"Usted tiene perfecto derecho a elegir entre conocer las matemáticas o no, pero debe ser consciente de que, en caso de no conocerlas, podrá ser manipulado más fácilmente." John A. Paulos

Gaussianos

Porque todo tiende a infinito...

La Ciencia y sus Demonios

La primera gran virtud del hombre fue la duda y el primer gran defecto la fe (Carl Sagan)

A %d blogueros les gusta esto: