Una explicación (más) del problema de Monty Hall

El problema del Monty Hall es un famoso ejemplo que ilustra muy bien lo poco que podemos fiarnos de nuestra intuición cuando se trata de calcular probabilidades. Aunque es bastante fácil encontrar descripciones y explicaciones muy buenas en la red, quiero aventurarme a proponer yo una que no sé si será mejor o peor que las demás, pero es la que a mí más me gusta. A ver qué les parece.

Como supongo ya sabrán, el problema consiste en un concurso en el que tenemos un presentador, un concursante y tres puertas cerradas. Detrás de cada una de ellas se esconde uno de estos tres objetos: una cabra, un coche y otra cabra. El concurso consiste en escoger una de las puertas, y el premio es lo que haya detrás de ella: o bien un coche, o bien una cabra. El presentador sabe en todo momento dónde está el coche, pero el concursante, obviamente, no. Si descartamos la posibilidad de que alguien prefiera quedarse con una de las cabras (nunca se sabe), el concurso se gana si detrás de la puerta escogida nos encontramos al coche y no un bóvido doméstico.

 

El concursante escoge una de las tres puertas, por ejemplo, la primera. En esta situación, la probabilidad de ganar el concurso es de una entre tres, pues solo una de las tres puertas esconde al coche. Pero cuando el concursante hace la elección, el presentador no abre la puerta escogida sino que abre una de las otras dos, en la que sabe que hay una cabra, y le pregunta al concursante si quiere mantener su elección o cambiar de puerta. ¿Qué harían ustedes? ¿Es mejor cambiar de puerta, no hacerlo, o da exactamente igual? Si no conocen ya la respuesta, párense un momento a pensar.

El presentador abre la puerta para que el concursante interprete que ha acertado, y que por eso le están haciendo dudar. Y es bastante probable que lo haga y que se aferre a su puerta como si le fuera la vida en ello. Pero lo más inteligente, a pesar de no parecerlo, no es quedarse con la primera puerta escogida, sino cambiar de puerta. A ver si soy capaz de explicarles por qué.

Para empezar, hay una razón de peso, aunque no es muy rigurosa. Si hacemos una simulación del juego y la repetimos varias veces, podemos comprobar por nosotros mismos como, cambiando de puerta, se gana el concurso en dos de cada tres ocasiones aproximadamente. Basta con repetir el juego 30 o 40 veces, cambiando siempre de puerta, para obtener un promedio de victorias cercano al 66’6% (pueden comprobarlo aquí). Pero si nos paramos a pensar, y con un poco de esfuerzo, también podemos encontrar una explicación matemática convincente.

Estudiemos la situación. Supongamos que decidimos cambiar de puerta. Si detrás de la puerta escogida está el coche y el presentador enseña una cabra, es obvio que en la otra puerta estará la otra cabra. Así, si el concursante cambia de puerta, perderá. Hemos encontrado una forma de perder el juego al cambiar de puerta.

ELIGE COCHE – VE UNA CABRA – CAMBIA – PIERDE

Imaginemos ahora que detrás de la puerta hay una cabra. Como son dos cabras, para entendernos llamaremos, por ejemplo, Tchebyshev  a una de ellas y Markov  a la otra (por qué no). Entonces pueden ocurrir dos cosas.

La primera es que detrás de nuestra puerta esté Tchebyshev. En este caso el presentador enseña a Markov y, al cambiar de puerta, el concursante se llevará el coche.

ELIGE A TCHEBYSHEV – VE A MARKOV – CAMBIA – GANA

Pero la segunda es que detrás de la puerta esté Markov, por lo que el presentador enseñará a Tchebyshev y, así, nuestro concursante también resultará vencedor.

ELIGE A MARKOV – VE A TCHEBYSHEV – CAMBIA – GANA

Existen, por tanto, dos formas de ganar al cambiar de puerta y sólo una forma de perder. Así, parece claro que, cambiando de puerta, será más facil llevarte el coche que la cabra.

Siendo más rigurosos, en realidad ni es necesario distinguir las cabras ni, de hecho, debemos hacerlo. Las situaciones, propiamente dichas, son dos:

1. ELIGE COCHE – VE UNA CABRA – CAMBIA – PIERDE
2. ELIGE CABRA – VE UNA CABRA – CAMBIA – GANA

Lo que ocurre es que la primera sólo puede darse de una manera, pues solo hay un coche, mientras que la segunda puede darse de dos formas diferentes, pues hay dos cabras. Así, la probabilidad de que cambies de puerta y pierdas es de uno entre tres, mientras que la de que cambies de puerta y ganes es de dos entre tres.

Como la de no cambiar y ganar es de una entre tres, es obvio que cambiar de puerta es, de lejos, lo más adecuado.

Salvo que uno se dedique a la ganadería bovina, claro.

Sevilla, noviembre de 2018

 

Las imágenes se obtuvieron en Wikimedia Commons.