Intervalos de confianza para la media poblacional

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Se describe a continuación un método para el cálculo de intervalos de confianza para la media poblacional, válido para estudiantes de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I y II.

En este método no se utilizan las fórmulas tradicionales que se suelen aplicar en la resolución de ejercicios de este tipo, sino que se expone un procedimiento que necesita de la comprensión del concepto de intervalo de confianza en profundidad. Es imprescindible dominar cálculo de probabilidades en una distribución normal y conocer los conceptos de población, muestra, parámetros poblacionales, estadísticos muestrales y estimador puntual, así como la distribución de las medias muestrales, que deben trabajarse de manera previa a este tipo de ejercicios.

Utilizaremos dos ejemplos para explicar el método. El primero es un ejercicio diseñado ex-profeso para explicar las ideas y los procedimientos que hay que seguir, y por tanto resulta muy extenso, pero en el segundo se muestra cómo se espera que resuelva el ejercicio un alumno o alumna de Bachillerato, de una forma mucho más concisa y escueta, pero completa y justificada.

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Apuntes de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I

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Comparto en esta entrada los apuntes completos para Primero de Bachillerato de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales, alineados con el currículo vigente en Andalucía, que he desarrollado durante este último curso y que estoy utilizando en la actualidad con mi alumnado del IES Gerena.

El objetivo de la elaboración de estos apuntes no ha sido resumir, esquematizar o reescribir los contenidos que ya se pueden encontrar en los libros de texto o en otras fuentes conocidas, sino buscar un enfoque que pusiera en valor el aspecto aplicado de las matemáticas que se estudian en esta asignatura.

Tradicionalmente, la asignatura se suele enfocar como una versión algo menos exigente de las Matemáticas I, que requieren de un rigor y de un nivel técnico bastante alto (al menos comparado con los niveles que nos vemos avocados a alcanzar en la ESO). Desde mi punto de vista profesional, ese enfoque no es el adecuado para las Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales, que deben entenderse como un medio y no como un fin.

Es por eso que en estos apuntes algunos compañeros de profesión puede que echen de menos ejercicios algo más exigentes desde el punto de vista técnico, o les pueda parecer que se profundiza menos en algunos aspectos, pero una lectura a fondo de la teoría, los ejemplos resueltos y los ejercicios y problemas propuestos mostrará que se ha sacrificado dificultad técnica para poder profundizar en la aplicación de los contenidos a situaciones cercanas a la realidad, dentro de las Ciencias Sociales, contextualizadas en problemas en los que hay que leer mucho y comprender muy bien de qué se está hablando.

Creo que esa es la forma correcta de plantear una asignatura de matemáticas aplicadas y donde tenemos que poner el foco al trabajar con nuestro alumnado: la comprensión de situaciones contextualizadas y la aplicación de las herramientas matemáticas adecuadas que las modelizan y que dan respuesta a los problemas que estas plantean.

En cualquier caso, no he venido aquí a inventar la rueda: los apuntes siguen rigurosamente el currículo establecido en la LOMLOE para Andalucía, como no podría ser de otra manera, pero interpretando la propuesta de saberes básicos, criterios de evaluación y competencias específicas en el sentido que se ha descrito. Esta interpretación se ajusta al marco legal vigente, e incluso creo que se acerca más a la idea de aprendizaje competencial que este promueve que el material que uno encuentra hoy en día en los libros de texto.

Contenidos

Parte I. Números y álgebra

  1. Los números reales y sus aplicaciones
    1. Conjuntos numéricos
    2. Intervalos y semirrectas
    3. Operaciones con intervalos
    4. Variación absoluta
    5. Potencias y radicales
    6. Aplicaciones de las potencias y los radicales
    7. Logaritmos
    8. Los logaritmos en el análisis de datos sociales
    9. Problemas
  2. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
    1. Ecuaciones
    2. Inecuaciones
    3. Sistemas de ecuaciones lineales
    4. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas

Parte II. Funciones

  1. Límites y continuidad de funciones
    1. Preámbulo: nociones básicas sobre funciones
    2. Dominio de una función
    3. Continuidad y asíntotas
    4. Límites en el infinito
    5. Límites en un punto
    6. Estudio analítico de dominio y continuidad
    7. Problemas
  2. Derivadas
    1. Preámbulo
    2. El concepto de derivada
    3. Cálculo de derivadas
    4. Reglas del producto y del cociente
    5. Tabla de derivadas
    6. Cien ejercicios de derivadas
    7. Aplicaciones de las derivadas
    8. Problemas

Parte III. Probabilidad y estadística

  1. Cálculo de probabilidades
    1. Técnicas de recuento
    2. Introducción al cálculo de probabilidades
    3. Fundamentos formales de la probabilidad
    4. Probabilidad condicionada
    5. Teoremas de la probabilidad total y de Bayes
    6. Distribuciones de probabilidad
    7. Distribución binomial
    8. Distribución normal
    9. Aproximación de la binomial por la normal
  2. Estadística
    1. Estadística descriptiva
    2. Estudio descriptivo de variables discretas
    3. Estudio descriptivo de variables continuas
    4. Regresión lineal
    5. Teoría de muestras
    6. Estimación puntual
    7. Intervalos de confianza

ACERCA DEL USO DE LA IA

Estos apuntes han sido realizados con la ayuda de inteligencia artificial, en concreto con el asistente Claude de Anthropic. El hecho de haber utilizado esta herramienta no significa que los apuntes se hayan generado solos ni muchísimo menos, el trabajo ha sido arduo, concienzudo y exigente, y en él la IA ha producido lo que yo quería, no me he quedado yo con lo que ella me ha dado; ella ha realizado todo ese trabajo sucio que solo podría haber hecho yo renunciando a tener una vida más allá de las matemáticas.

Los meses de dedicación que ha requerido esta tarea habrían sido años de no haber podido contar con esta herramienta, por lo que no tengo ningún reparo en reconocer el uso que he hecho de ella. Aquí lo importante no es la autoría intelectual ni el reconocimiento público, sino el que mis alumnos y alumnas tengan el mejor material posible a su alcance para trabajar, y eso es algo que sin la IA no habría podido conseguir, al menos no en este curso ni el siguiente.

Además, la IA me ha permitido explorar conceptos y situaciones de Ciencias Sociales en los que yo no estoy formado, lo que ha enriquecido exponencialmente la gama de contextos en los que se desarrollan los problemas y ejercicios propuestos, acercándolos más a situaciones con las que mi alumnado probablemente se encuentre en el futuro. Entiendo las reticencias que el uso de la IA despierta en muchos compañeros de profesión, pero para mí es como cualquier otro avance tecnológico: no es bueno ni malo per se, sino que depende del uso que hagamos de él.

ERRATAS, ERRORES Y ACLARACIONES

Estos apuntes no han sido revisados por terceras personas, ni yo he tenido tiempo de resolver personalmente todos los ejercicios que se proponen (que son muchísimos) por lo que podrían contener erratas o incluso errores que no he detectado aún. Por eso agradeceré cualquier corrección o crítica constructiva que se haga de ellos, y las tendré en cuenta para mejorarlos el próximo curso.

Si ha llegado hasta aquí, muchas gracias por su tiempo y espero que este material le sea de provecho. Y, por favor, si va a reutilizarlo o republicarlo, una mención al autor no cuesta nada y a mi madre le haría mucha ilusión.

Descargar apuntes completos en PDF

FE DE ERRATAS:

  • P. 21, ejemplos resueltos de la subsección «Relación entre variación absoluta e intervalos» (paro e inflación), los intervalos finales son cerrados, no abiertos: [12'5,\, 17'5] y [2'2,\, 4'2], respectivamente.
  • P. 23, solución del ejercicio 7 b) de Variación absoluta, las dos predicciones son fiables, no solo 30'2 ºC., solución del ejercicio 8 b) el comprimido de 476 mg es correcto, no defectuoso, soluciones de los ejercicios 5 a), 6 a), 8 a) y 10 a) los intervalos son cerrados, no abiertos: [41, 45], [25, 31], [475, 525] y [53'5,\, 62'5], respectivamente.
  • P. 44, soluciones de los ejercicios: en el ejercicio 19, donde dice «292. 2 órdenes de magnitud menor. 2’80%», debe decir «3'00\cdot 10^2. 2 órdenes de magnitud menor. 0’16%»; en el ejercicio 20, donde dice «1’84. Mismo orden de magnitud. 37’0%», debe decir «2’92. 3 órdenes de magnitud menor. 0’13%».
  • P. 69, problema sobre las prioridades del mundo: aparece duplicado en las páginas 69 y 70. El correcto es el de la página 70.
  • P. 269, solución del ejercicio 3 a), la respuesta es Compuesto, no Elemental.
  • P. 364, la primera solución (la correspondiente a un muestreo sistemático con k=80) no se corresponde con ningún ejercicio del listado publicado. La solución etiquetada como 2 corresponde al ejercicio 1, la 3 al ejercicio 2, y así sucesivamente, hasta la solución 14 que corresponde al ejercicio 13.

Material elaborado por Javier Oribe Moreno, profesor del Departamento de Matemáticas del IES Gerena (Sevilla), para la asignatura Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I de 1.º de Bachillerato, conforme al Decreto 103/2023, de 9 de mayo (BOJA núm. 104, de 2 de junio de 2023).

En la elaboración de este material se ha contado con la asistencia de modelos de inteligencia artificial generativa, supervisada y editada en todo momento por el autor.

Publicado bajo licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial 4.0 Internacional (CC BY-NC 4.0).

Problemas con la definición de raíz cuadrada en los libros de texto de ESO y Bachillerato

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Preparando mis clases para la asignatura de «Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas» de 4º de ESO he vuelto a encontrar el el libro de texto la siguiente definición de raíz cuadrada:

«La raíz cuadrada de un número real a es otro número real b que elevado al cuadrado da a»

Y añade la expresión:

\sqrt{a}=b \Leftrightarrow b^2=a

dando a entender que si b es la raíz cuadrada de a escribiremos b=\sqrt{a}.

A mí nunca me ha terminado de convencer esta forma de definir las raíces cuadradas (o de índice par en general) de un número real. Les explico por qué, a ver si soy capaz de hacerme entender.

Demos por buena esta definición y la expresión con la doble implicación que describe la notación a utilizar. Consideremos un número real negativo, por ejemplo b=-\sqrt{2}. Entonces, según la definición, si lo elevamos al cuadrado encontraremos otro número real a del que -\sqrt{2} será su raíz cuadrada.

Como (-\sqrt{2})^2=2, entonces el número buscado es a=2. Por tanto, como la definición afirma que \sqrt{a}=b, y b=-\sqrt{2}, debe ser:

-\sqrt{2}=\sqrt{2}

Llámenme pejiguero, pero me da a mí que un número negativo igual que otro positivo es una contradicción como la copa de un pino (salvo que este número sea el cero, que no es el caso).

Evidentemente puedo estar equivocado, así que si alguien ve algún error en mi razonamiento le ruego que me explique cuál es en los comentarios.

El problema se resolvería si se utilizase la siguiente definición:

«Dados dos números reales x e y, se dice que y es raíz cuadrada de x si verifica la ecuación y^2=x. En ese caso, se escribe \sqrt{x}=y si y>0 y -\sqrt{x}=y si y<0.»

De esta forma, hasta donde yo alcanzo a ver, se resuelve la contradicción señalada, y de paso se introduce una forma clara de distinguir la raíz cuadrada positiva y negativa de un número real.

Podríamos, sin embargo, considerar que esta definición es demasiado abstracta para el alumnado de los primeros cursos de la ESO, y no sin razón. Por eso propongo esta otra manera de definir la raíz cuadrada para primero y segundo de la ESO, en la que mantenemos el rigor matemático a la vez que hacemos asequible el concepto (o, dicho de otra manera, explicamos las cosas poniéndolas lo más fáciles que sea posible pero sin tratar a nuestro alumnado como personas incapaces de hacer razonamientos complejos):

«Las raíces cuadradas de un número real a son los dos números que al elevarlos al cuadrado nos dan el número a. Esos dos números siempre existirán porque, como sabemos, si el número b al cuadrado da a, el número (-b) al cuadrado también dará a. Cuando tratemos con la raíz cuadrada positiva de a escribiremos \sqrt{a}, y cuando debamos trabajar con la raíz cuadrada negativa de a escribiremos -\sqrt{a}.»

Espero que les parezca adecuada, y si no, espero sus propuestas en los comentarios.

ACTUALIZACIÓN:
@gaussianos me ha recordado que ya habló de esto no hace mucho en su blog: https://www.gaussianos.com/cual-es-la-raiz-cuadrada-de-16/

Matemáticas de Secundaria: El teorema de Pitágoras

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El teorema de Pitágoras es una propiedad que tienen los triángulos rectángulos, pero sólo la cumplen ellos, en los triángulos que no son rectángulos este teorema no se puede aplicar.

Sólo el triángulo verde es rectángulo

Recordemos para comenzar que un triángulo es rectángulo si uno de sus ángulos es recto. Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, mientras que el opuesto a este ángulo se llama hipotenusa.

Si nos fijamos es fácil comprobar que la hipotenusa siempre es el lado más grande de los tres.

El teorema de Pitágoras dice que, si llamamos a y b a las longitudes de los catetos y h a la longitud de la hipotenusa,

h^2=a^2+b^2 (1)

Esto se cumple siempre en todos los triángulos rectángulos, sin excepción, y no se cumple en ninguno que no sea rectángulo.

Para los ejercicios necesitaremos utilizar la fórmula de otras dos maneras distintas:

· Si nos dan los dos catetos y nos piden la hipotenusa usaremos:

h=\sqrt{a^2+b^2} (2)

· Si nos dan la hipotenusa y un cateto, y nos piden el otro (da igual qué cateto sea), usaremos:

a=\sqrt{h^2-b^2} (3)

Aquí tenéis tres ejercicios como ejemplo:

Ejercicio 1: Comprueba que en este triángulo se cumple el teorema de Pitágoras.

Tenemos que la hipotenusa vale 5 y los catetos 3 y 4. Si el teorema se cumple, esta expresión tiene que ser cierta:

5^2=3^2+4^2

Como 5^2=25 y 3^2+4^2=9+16, resulta que

25=9+16

y esto es verdadero, por lo que el teorema se cumple.

Ejercicio 2: Se quiere colocar un cable desde lo alto de una antena que mide 30 metros hasta un punto colocado a 15 metros de la base de la antena. ¿Cuánto debe medir el cable?

La antena, el cable y el suelo forman un triángulo rectángulo, donde la hipotenusa es precisamente el propio cable. Como conocemos los dos catetos utilizamos la segunda fórmula:

h=\sqrt{30^2+15^2}

Con nuestra calculadora hacemos primero

30^2+15^2=1125

Después hacemos la raíz cuadrada de 1125 y obtenemos la respuesta al problema:

h=\sqrt{1125}\simeq 33,54

El cable medirá aproximadamente 33 metros y 54 centímetros.

Ejercicio 3: Una parcela rectangular tiene un camino que cruza por su diagonal. Si el camino mide aproximadamente 18m y la parcela tiene 10 metros de ancho, ¿cuánto mide de largo?

El camino que cruza a la parcela por su diagonal la divide en dos triángulos rectángulos iguales. Si nos quedamos con uno de ellos, conocemos su hipotenusa, que es el camino, y uno de los catetos (el ancho), por lo que la fórmula adecuada es la tercera:

a=\sqrt{18^2-10^2}\simeq 15

El ancho de la parcela es, por tanto, 15 metros aproximadamente.

3º Académicas: Proporcionalidad y Geometría. Teorema de Tales.

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Esta es una relación de actividades para el alumnado de 3º de ESO del IES Carmen Laffón que cursa la asignatura Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académicas.

OBJETIVOS:
· Saber qué son polígonos semejantes.
· Conocer el Teorema de Tales.
· Saber cuándo dos triángulos están en posición de Tales.
· Saber cuándo dos triángulos son semejantes

MATERIAL:
· Todo lo que tienes que saber está en el apartado 6 del tema 6 de tu libro de texto, tendrás que leerlo varias veces. Copia los recuadros amarillos en tu cuaderno e intenta resolver los ejemplos por tí mismo.
· Revisa todo el material que tienes aquí a tu disposición y haz los ejercicios interactivos.
· Si los ejercicios interactivos no te salen bien, pregunta.

ACTIVIDADES:
· Cuando hayas trabajado bien todo lo anterior, realiza los ejercicios 49, 50, 51 y 52 de tu libro de texto.

Vídeo: Polígonos semejantes

Ejercicios interactivos de semejanza de polígonos:

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/geometria/basica/ejercicios-interactivos-de-semejanza-de-poligonos.html

Vídeo: Teorema de Tales

Ejercicios interactivos usando el teorema de Thales

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/geometria/basica/ejercicios-interactivos-del-teorema-de-thales.html