Matemáticas de Secundaria: El teorema de Pitágoras


El teorema de Pitágoras es una propiedad que tienen los triángulos rectángulos, pero sólo la cumplen ellos, en los triángulos que no son rectángulos este teorema no se puede aplicar.

Sólo el triángulo verde es rectángulo

Recordemos para comenzar que un triángulo es rectángulo si uno de sus ángulos es recto. Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, mientras que el opuesto a este ángulo se llama hipotenusa.

Si nos fijamos es fácil comprobar que la hipotenusa siempre es el lado más grande de los tres.

El teorema de Pitágoras dice que, si llamamos a y b a las longitudes de los catetos y h a la longitud de la hipotenusa,

h^2=a^2+b^2 (1)

Esto se cumple siempre en todos los triángulos rectángulos, sin excepción, y no se cumple en ninguno que no sea rectángulo.

Para los ejercicios necesitaremos utilizar la fórmula de otras dos maneras distintas:

· Si nos dan los dos catetos y nos piden la hipotenusa usaremos:

h=\sqrt{a^2+b^2} (2)

· Si nos dan la hipotenusa y un cateto, y nos piden el otro (da igual qué cateto sea), usaremos:

a=\sqrt{h^2-b^2} (3)

Aquí tenéis tres ejercicios como ejemplo:

Ejercicio 1: Comprueba que en este triángulo se cumple el teorema de Pitágoras.

Tenemos que la hipotenusa vale 5 y los catetos 3 y 4. Si el teorema se cumple, esta expresión tiene que ser cierta:

5^2=3^2+4^2

Como 5^2=25 y 3^2+4^2=9+16, resulta que

25=9+16

y esto es verdadero, por lo que el teorema se cumple.

Ejercicio 2: Se quiere colocar un cable desde lo alto de una antena que mide 30 metros hasta un punto colocado a 15 metros de la base de la antena. ¿Cuánto debe medir el cable?

La antena, el cable y el suelo forman un triángulo rectángulo, donde la hipotenusa es precisamente el propio cable. Como conocemos los dos catetos utilizamos la segunda fórmula:

h=\sqrt{30^2+15^2}

Con nuestra calculadora hacemos primero

30^2+15^2=1125

Después hacemos la raíz cuadrada de 1125 y obtenemos la respuesta al problema:

h=\sqrt{1125}\simeq 33,54

El cable medirá aproximadamente 33 metros y 54 centímetros.

Ejercicio 3: Una parcela rectangular tiene un camino que cruza por su diagonal. Si el camino mide aproximadamente 18m y la parcela tiene 10 metros de ancho, ¿cuánto mide de largo?

El camino que cruza a la parcela por su diagonal la divide en dos triángulos rectángulos iguales. Si nos quedamos con uno de ellos, conocemos su hipotenusa, que es el camino, y uno de los catetos (el ancho), por lo que la fórmula adecuada es la tercera:

a=\sqrt{18^2-10^2}\simeq 15

El ancho de la parcela es, por tanto, 15 metros aproximadamente.

Una respuesta

  1. muchas gracias …es de gran ayuda el texto

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