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Problemas con la definición de raíz cuadrada en los libros de texto de ESO y Bachillerato

de Javier Oribe el 03/10/2021 | Deja un comentario

Preparando mis clases para la asignatura de «Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas» de 4º de ESO he vuelto a encontrar el el libro de texto la siguiente definición de raíz cuadrada:

«La raíz cuadrada de un número real a es otro número real b que elevado al cuadrado da a»

Y añade la expresión:

$\sqrt{a}=b \Leftrightarrow b^2=a$

dando a entender que si b es la raíz cuadrada de a escribiremos $b=\sqrt{a}$ .

A mí nunca me ha terminado de convencer esta forma de definir las raíces cuadradas (o de índice par en general) de un número real. Les explico por qué, a ver si soy capaz de hacerme entender.

Demos por buena esta definición y la expresión con la doble implicación que describe la notación a utilizar. Consideremos un número real negativo, por ejemplo $b=-\sqrt{2}$ . Entonces, según la definición, si lo elevamos al cuadrado encontraremos otro número real $a$ del que $-\sqrt{2}$ será su raíz cuadrada.

Como $(-\sqrt{2})^2=2$ , entonces el número buscado es $a=2$ . Por tanto, como la definición afirma que $\sqrt{a}=b$ , y $b=-\sqrt{2}$ , debe ser:

$-\sqrt{2}=\sqrt{2}$

Llámenme pejiguero, pero me da a mí que un número negativo igual que otro positivo es una contradicción como la copa de un pino (salvo que este número sea el cero, que no es el caso).

Evidentemente puedo estar equivocado, así que si alguien ve algún error en mi razonamiento le ruego que me explique cuál es en los comentarios.

El problema se resolvería si se utilizase la siguiente definición:

«Dados dos números reales $x$ e $y$ , se dice que $y$ es raíz cuadrada de $x$ si verifica la ecuación $y^2=x$ . En ese caso, se escribe $\sqrt{x}=y$ si $y>0$ y $-\sqrt{x}=y$ si $y<0$ .»

De esta forma, hasta donde yo alcanzo a ver, se resuelve la contradicción señalada, y de paso se introduce una forma clara de distinguir la raíz cuadrada positiva y negativa de un número real.

Podríamos, sin embargo, considerar que esta definición es demasiado abstracta para el alumnado de los primeros cursos de la ESO, y no sin razón. Por eso propongo esta otra manera de definir la raíz cuadrada para primero y segundo de la ESO, en la que mantenemos el rigor matemático a la vez que hacemos asequible el concepto (o, dicho de otra manera, explicamos las cosas poniéndolas lo más fáciles que sea posible pero sin tratar a nuestro alumnado como personas incapaces de hacer razonamientos complejos):

«Las raíces cuadradas de un número real $a$ son los dos números que al elevarlos al cuadrado nos dan el número $a$ . Esos dos números siempre existirán porque, como sabemos, si el número $b$ al cuadrado da $a$ , el número $(-b)$ al cuadrado también dará $a$ . Cuando tratemos con la raíz cuadrada positiva de $a$ escribiremos $\sqrt{a}$ , y cuando debamos trabajar con la raíz cuadrada negativa de $a$ escribiremos $-\sqrt{a}$ .»