Relaciones de equivalencia o cómo lograr que 2+2 sea 1

Por Javier Oribe para la IX edición del Carnaval de Matemáticas en Rescoldos en la Trébede .

Una de las herramientas más potentes e importantes que se estudian en cursos avanzados de matemáticas es la relación de equivalencia. Personalmente también fue una de las ideas que más trabajo me costó entender, quizá debido a lo abstracto de su planteamiento teórico, pero por suerte cuando la comprendí descubrí que en realidad es un concepto extremadamente sencillo.

Un poco de teoría para ordenar calcetines

Una relación de equivalencia es esencialmente una manera de agrupar los elementos de un determinado conjunto, de tal forma que podamos clasificarlos por alguna característica común. Por ejemplo, imaginemos que queremos ordenar un cajón lleno de calcetines. Algunos son blancos, otros azules y otros negros, y también los hay de lana y de algodón. Obviamente una forma sencilla de ordenarlos es agruparlos por colores o por el material del que estén hechos, y eso es algo que todos sabemos hacer con mayor o menor éxito. Pues bien, eso mismo se puede hacer desde un punto de vista teórico definiendo diferentes relaciones de equivalencia entre los calcetines del cajón.

El procedimiento es en realidad el mismo. Primero definimos una relación entre los calcetines, como por ejemplo, que dos pares están relacionadas entre sí si tienen el mismo color. Así, los blancos estarán relacionados con los blancos, los azules con los azules,  y los negros con los negros. En segundo lugar, hay que comprobar que esta relación es de equivalencia, para lo cual tenemos que ver si cumple estas tres propiedades:

1. Propiedad simétrica: Si un primer elemento está relacionado con otro, el segundo debe estar también relacionado con el primero. Se cumple, pues si tengo dos pares de calcetines A y B azules, A está relacionado con B y B está relacionado con A.

2. Propiedad transitiva: Si un elemento está relacionado con un segundo elemento, y éste con un tercero, el primero ha de estar relacionado también con el tercero. También es evidente que se cumple, pues si C, D y E son tres pares de calcetines blancos,  tanto C y D como D y E están relacionados, así como también lo están C y E.

3. Propiedad reflexiva : Un elemento debe estar relacionado consigo mismo. En efecto, si F es un par de calcetines negros, F está relacionado con F, pues tiene su mismo color (esto parece una tontería, pero no podemos suponer que se cumplirá siempre).

Pues bien, resulta que si en un conjunto se puede definir una relación de equivalencia, ésta induce en el conjunto una partición en subconjuntos formados por los elementos que están relacionados entre sí, es decir, que clasifica los elementos del conjunto en grupos que comparten una cierta característica. Estos subconjuntos se llaman clases de equivalencia, y además son disjuntos, es decir, no hay ningún elemento que esté en dos o más clases a la vez (de ahí llamarlo partición). Y en efecto, tras aplicar nuestra relación el cajón queda ordenado en tres clases de equivalencia que son disjuntas: la de los calcetines blancos, la de los azules y la de los negros.

Otras relaciones de equivalencia que podríamos definir en el cajón serían «calcetines del mismo material», lo que nos proporcionaría las clases «calcetines de lana» y «calcetines de algodón». Incluso podríamos definir la relación «calcetines que se pongan en los pies» para agruparlos a todos en una misma clase de equivalencia: la del cajón al completo.  Si se fijan bien, es más o menos lo mismo que sabemos hacer todos aplicando el sentido común, pero desde un punto de vista un poco más teórico.

Una relación que no es de equivalencia

Pero en este ejemplo no se vé realmente cuál es la importancia de las propiedades reflexiva, transitiva y simétrica, pues son excesivamente obvias. Sin embargo, no es difícil encontrar una relación que no cumpla alguna de ellas.

Consideremos por ejemplo la relación «calcetines del mismo color o del mismo material». Según ella, dos pares de calcetines estarían relacionados si por ejemplo ambos son azules o si ambos son de lana, dándose la posibilidad de que un par de algodón azul esté relacionado con uno de algodón blanco, o uno de algodón negro con otro de lana negro. Por tanto, si tengo un par de calcetines negros de lana y otro par de blancos de lana, ambos estarán relacionados, pues comparten material, y si hay además otro par de calcetines blancos de  algodón, éste estaría relacionado con el segundo (blancos de lana), pues ambos tienen el mismo color.

Sin embargo, el primer y el tercer par no están relacionados, porque no comparten ni color ni material. Como no se cumple la propiedad transitiva, la relación no es de equivalencia y no puedo clasificar los calcetines en conjuntos disjuntos siguiendo este criterio. Si ahora intentamos pasar de la teoría a la práctica, veremos que no podemos ordenar los calcetines en conjuntos disjuntos de pares con el mismo color o el mismo material, pues habrá calcetines que estén en el subconjunto «blancos o de lana» y también en el «blancos o de algodón». Una pregunta, ¿si la relación definida hubiera sido «calcetines del mismo color y del mismo material» estaríamos ante una relación de equivalencia?.

Una importante aplicación

El ejemplo de los calcetines nos puede servir para visualizar cuál es el funcionamiento de una relación de equivalencia, pero obviamente ésta no es una herramienta diseñada para ayudarnos a ordenar nuestro armario. Muy al contrario, existen muchas ramas de las matemáticas donde aparecen aplicaciones de este concepto, de tal forma que en muchos de los cursos de matemáticas universitarias siempre hay alguna relación de equivalencia acechando por alguna parte. Para ilustar esto, veamos una de las aplicaciones más importantes y quizá más conocidas de las relaciones de equivalencia: la aritmética modular.

Si consideramos el conjunto de los números enteros, es decir, los números positivos y negativos que no tienen decimales junto con el cero, una relación que podemos definir entre ellos es la siguiente: «dos números enteros estarán relacionados entre sí si al dividirlos por un tercer número entero ambas divisiones dan el mismo resto». Por ejemplo, si dividimos por 2, el 3 y el 5 estarán relacionados, pues ambos dan como resto 1. Se puede comprobar que esta relación es de equivalencia, y por tanto induce en los número enteros una partición por la que quedan dispuestos en dos clases de equivalencia: la de los números que divididos por 2 dan resto 0 (los números pares y el propio 0) y la de los que dan resto 1 (los impares). A la primera clase se le llama clase del 0 y a la segunda clase del 1, ya que por convenio se escoge al resto de la división como representante de cada clase de equivalencia.

Para ser un poco más preciso, en este ejemplo se diría que estamos trabajando con el conjunto cociente de los números enteros módulo 2, y como el 3 pertenece a la clase del 1, se dice que 3≡1mod(2), es decir, que 3 es congurente con 1 módulo 2. Por otra parte, si nos fijamos bien, hemos visto que 3≡1mod(2) y que 5≡1mod(2), por lo que desde el punto de vista de la arimética modular se podría decir (siendo poco rigurosos) que el 3 es igual al 5. Por lo tanto, lo que hemos hecho es clasificar los números enteros de tal forma que podemos considerar que el 2, el 46, el -1232 y el 9.057.642 son el mismo objeto: la clase del 0, mientras que el -333, el 57, el 7 y el 98.655 serán también una misma cosa: la clase del 1. De esta manera reducimos el conjunto infinito de los números enteros a un conjunto finito de dos elementos, lo que en ciertas situcaciones resulta bastante práctico.

Esto mismo lo podemos hacer para cualquier divisor, y así si consideramos el conjunto cociente de los enteros módulo 3, dividiremos a los enteros en las clases del 0, del 1 y del 2, y así tendríamos que el 3, el 9 y el 27 estarían todos en la clase del 0, el 4, el 31 y el 94 en la clase del 1 y el 5, el 20 y el 248 en la clase del 2 (pueden comprobarlo ustedes mismos).

¿Me podría decir la hora módulo 12, por favor?

En realidad, utilizar un conjunto cociente es igual que contar como si sólo supiésemos hacerlo hasta un cierto número (empezando por el 0), de tal forma que al llegar a él tuviéramos que volver a comenzar. Por ejemplo, al trabajar con el conjunto cociente de los enteros módulo 4 sólo podríamos contar hasta cuatro empezando en el 0 (0,1,2 y 3), y contaríamos  las 12 uvas que nos comemos en nochevieja así: «0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3″. Esto les puede sonar extraño, pero ustedes saben perfectamente cómo contar de esta manera, y además trabajan a diario con algunos conjuntos cocientes. Por ejemplo, si me preguntan qué hora es y yo les digo que son las 18 horas, todos saben que son las 6 de la tarde, ¿verdad? Pues bien, esto no es más que trabajar en módulo 12, pues 18≡6mod(12)  (si dividimos 18/12, da como resto 6), es decir, que «son las 6» y «son las 18» es exactamente lo mismo si estamos hablando de horas, pues 6 y 18 pertenecen a la misma clase de equivalencia en el conjunto de los enteros módulo 12 (la del 6). De hecho, al contar las horas, empezamos por el 0 y sólo llegamos hasta el 12 (o el 24) y luego volvemos a empezar, como al trabajar con cualquier conjunto cociente.

La aritmética modular podría parecer sólo una excentricidad numérica, pero desde un punto de vista histórico es una de las herramientas matemáticas de mayor importancia, pues ella es una de las bases del cifrado de mensajes desde tiempos del Imperio Romano hasta nuestros días. De hecho los modernos sistemas de cifrado de datos gracias a los cuales podemos comprar y consultar nuestras cuentas bancarias por internet se basan los pincipios de la aritmética modular. Pero sobre esto ya tendremos tiempo de hablar en otra ocasión.

Ah, por cierto, en referencia al misterioso título que encabeza esta entrada, imagino que alguno de ustedes a estas alturas ya sabrá cómo lograr que 2+2 sea 1: basta con darse cuenta que 4 entre 3 tiene como resto 1, es decir, que 4≡1mod(3), por lo que la afirmación 2+2=1 sí tiene sentido si trabajamos en el conjunto cociente de los números enteros módulo 3. Que no les quería dejar con la duda.

Lo publicó Javier Oribe Moreno en El Máquina de Turing para Carnaval de Matemáticas.

PD: ¿Podrá alguien con esta información dar con la combinación exacta de la caja del Abuelo Saturnino?

Para saber más:

Definición y ejemplos de relaciones de equivalencia.

Matemáticos, espías y piratas informáticos.