OPINIÓN por JOHN ALLEN PAULOS
2 de Octubre de 2011

Lanzar un dado hasta que salen los seis números, tener hijos hasta tener uno de cada sexo y completar la colección de cromos de béisbol son tres ejemplos de un cierto tipo de tareas compartimentadas.

Para completar una tarea de este tipo es necesario realizar varias subtareas. Si las probabilidades de realizar esas varias tareas son las mismas, con algunas matemáticas relativamente sencillas podemos hacernos una idea de cómo de larga o extensa será la tarea completa.

Para ilustrar esto comencemos con un dado. ¿Cuántas veces tiene que lanzarlo como término medio hasta que cada uno de los seis números aparece por lo menos una vez?

Las matemáticas de completar colecciones

Para contestar esta pregunta se necesitan un par de ideas, alguna de ellas bastante sencilla.

Suponga que la probabilidad de que ocurra algún suceso o resultado de interés y que las repeticiones de los intentos de obtener el resultado no afectan a la probabilidad de intentos posteriores. Entonces se puede probar que, como media, necesitaremos 1/p intentos para obtener el resultado.

Esto así suena complicado, así que volvamos al ejemplo del dado. Como lanzar un dado genera aleatoriamente números del 1 al 6, la probabilidad de obtener un número determinado, por ejemplo el 2, es 1/6, por tanto de media necesitaremos 1/(1/6) o 6 lanzamientos para obtener un 2. Por término medio necesitaremos también 6 lanzamientos para obtener un 5 y así sucesivamente. Por el contrario, la probabilidad de obtener un número impar, el 1, el 3 o el 5, es 3/6, luego por término medio necesitaremos 1/(3/6) o 2 lanzamientos del dado para obtenerlo. Leer más →