Cómo repartir una tarta entre dos niños (sin que acaben a tartazos)


Imagine que se ha quedado usted una tarde a cargo de, por ejemplo, sus dos sobrinos. Para complacerles ha decidido comprarles una tarta, con la que sabe que disfrutarán de lo lindo, pues ambos son muy golosos. Con toda su buena voluntad, usted decide repartir la tarta en dos trozos iguales.

Pero no ha contado usted con dos factores importantes: en la práctica, es imposible cortar una tarta en dos pedazos exactamente iguales, y aunque esto fuera posible, es bastante probable que sus dos sobrinos, que como todos los niños son un poco caprichosos, se enfaden porque el trozo que les ha tocado es más pequeño que el del otro.

¿Hay alguna manera de repartir la tarta que evite cualquier tipo de discusiones?

Usted podría pensar en un primer momento que la mejor opción es dejar que ellos se pongan de acuerdo con el reparto. Pruebe entonces a dejar que los niños decidan cuál es el lugar preciso para el corte y que queden tan contentos, y si lo consigue, publique el resultado en Science porque probablemente será la primera vez que se registre el fenómeno. Quizá sea más realista buscar unas reglas de actuación que ambos estén de acuerdo en cumplir, que dejen a los dos satisfechos, y que a usted le ahorre una terrible jaqueca. ¿Se le ocurre alguna?

La mejor solución para este problema es bastante simple: basta con dejar que uno de los niños decida cómo va a ser el corte y que el otro escoja uno de los dos trozos. El que decide el corte no tendrá más remedio que ser lo más ecuánime posible, pues sabe que si corta un trozo más grande, el otro niño se quedará con él. Por tanto el primer niño quedará satisfecho, pues estará seguro de haber partido la tarta justamente. El segundo niño, a su vez, también quedará satisfecho, pues tendrá la seguridad de haber escogido la mayor porción (aunque las dos fuesen exactamente iguales).

Si suponemos que los niños juegan a un juego llamado “Repartir la Tarta”, en el que ambos tratan de llevarse la mayor porción posible, la solución “cada uno de ellos se lleva la mitad de la tarta” es lo que se denomina solución óptima del juego, que John von Neumann probó que siempre existe para cualquier juego finito (aquellos en los que los jugadores pueden escojer entre un número finito de acciones o estrategias).

En realidad, lo interesante en este caso no es conocer la solución óptima, que es obvia, sino las estrategias que han de seguir los niños para conseguirla. El niño que escoge el modo de cortar la tarta sabe que se va a quedar con el trozo más pequeño, por lo que procurará que el corte sea exacto para hacer lo más grande posible (máximo) ese trozo pequeño que le corresponderá (mínimo). Esta estrategia del primer niño se llama estrategia maximín del primer jugador. Como ya hemos visto, el otro niño tratará de dejarle al primero el trozo más pequeño (mínimo) escogiendo el más grande de los dos (máximo), y esta es la denominada estrategia minimax del segundo jugador.

Lo que hizo von Neumann fue demostrar, en su célebre Teorema de von Neumann o Teorema del Minimax, que cada jugador puede escoger siempre una estrategia maximin o minimax, según le corresponda, y que si los dos jugadores las aplican al juego, éste se resolverá llegando a su solución óptima, con la única condición de que el número de estrategias que pueda escoger cada jugador sea finito. Dicho de otra forma, el Teorema del Minimax dice que para problemas de este tipo siempre existe algún punto de acuerdo entre las partes (otra cosa es el interés real que tenga cada parte por alcanzarlo).

Así que ya saben, la próxima vez que se vean en esta situación opten por la estrategia minimax, o bien háganle a cada uno un bocadillo de nocilla y no se metan en problemas.

Lo publicó Javier Oribe Moreno para  El Máquina de Turing

A Raquel y Juan Carlos, que van a ser papás, para que se vayan preparando.


Fuentes:

El dilema del prisionero“, William Poundstone, Alianza Ed. 1995

Teoría de los Juegos“, Tomo 1, Francisco Javier Girón González-Torre, Ed. UNED, 1990

6 comentarios

  1. Análogo a lo de la tarta es el conocido como “disparo tejano”: Cuando dos personas son socias en algún tipo de negocio, inversión, etc., y por circunstancias desean terminar la relación que les une, ¿quién se queda con el negocio?; pues lo que se hace para decidir dicha cuestión cuando se utiliza el “disparo tejano” es que una de las partes determina un precio y la otra tiene dos opciones: vender su parte del negocio, inversión, etc. por dicho precio o comparle su parte al otro socio por dicha cantidad. La teoría nos dice que quien pone el precio “ajustaría” dicha cifra para no perder tanto si el otro elige vender ó comprar (análogo comportamiento a lo que pasaba con la tarta), aunque siempre puede haber factores que provoquen un resultado diferente (que una persona quiera quedarse con el negocio a pesar de perder algo de dinero, por razones personales, sustituyendo parte del dinero por la satisfacción personal por ejemplo).

    1. No conocía lo del “disparo tejano”, me parece muy interesante.

      Sobre lo que dices al final, se puede tener en cuenta la influencia de factores ajenos al dinero en estos casos si introducimos una función de utilidad, en la que cada jugador asigna un valor a cada uno de los resultados posibles, de tal forma que si uno prefiere vender por 20 a no vender por menos de 30, 20 tendría más valor que 30, por ejemplo.

      Saludos!

      1. Como se nota que has estudiado teoría de la decisión xD.

      2. Bueno, estudiar lo que se dice estudiar no la he estudiado mucho, pero al menos la he aprobado😀

  2. Brillante, gran solución para un problema realmente complicado jeje.

    Te mereces ser enlazado en la entrada que acabo de publicar en mi blog:
    http://elmundoderafalillo.blogspot.com/2010/10/no-es-mio-pero-es-interesante-xx.html

    Espero que te guste y nos vemos la semana que viene en el Carnaval😉

    1. Supongo que con lo de “solución brillante” te referirás a la de los bocatas de nocilla😀

      Muchas gracias por enlazarme, Rafalillo, y nos vemos la semana que viene!

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