Una fiabilidad del 99% ¿puede no ser tan fiable?

Publicada el 21/11/2011 en Hablando de Ciencia para la 2.8 del Carnaval de Matemáticas celebrado en Ciencia Conjunta.

Aleatorio y Varianza se conocieron en la consulta del doctor Don Máximo Común el día en el que, casualmente, ambos iban a verlo por culpa de un persistente dolor de estómago. Después de hacerles un reconocimiento, el doctor les dijo que podían padecer una rara enfermedad que sólo afectaba a 1 de cada 100 pacientes que presentaban sus mismos síntomas, y para descartarla debía hacerles una prueba específica que tenía una fiabilidad del 99%, es decir, que sólo fallaba en el diagnóstico de 1 paciente de cada 100.

Al cabo de unos días ambos volvieron para conocer los resultados de la prueba. Cuando se encontraron, Aleatorio dijo:

- La prueba ha dado negativa, pero como aún existe una probabilidad del 1% de que el test haya fallado le he pedido al doctor que la repita.

Tras escucharlo, Varianza le contestó:

- A mí la prueba me ha dado positiva, pero como todavía hay una probabilidad del 50% de que yo en realidad no tenga la enfermedad pediré una segunda opinión.

¿Han acertado Aleatorio y Varianza en sus cálculos o a alguno de ellos le traiciona su intuición? Piénselo un poco antes de continuar.

Historias de un profe novato: tres múltiplos de 11 y una probabilidad de 7 entre 10.000

Por Javier Oribe para El Máquina de Turing

Hace pocos días me ocurrió algo bastante curioso dando una clase particular. Estaba hablando de los criterios que existen para saber si un número es divisible por otro, como por ejemplo por 3, 5 u 11, y se me ocurrió explicarle también a Mónica, mi alumna, una forma muy sencilla de averiguar esto usando calculadora: basta con dividir un número por el otro y si el resultado es un número natural, entonces el segundo es divisor del primero.

Quise ponerle un ejemplo para que lo viera y escogí al azar un número de tres cifras, el 253. Fui a dividirlo con la calculadora y cuando le dí al resultado resultó 253/11=23, es decir, que 11 era divisor de 253. Sin darle mayor importancia escogí un segundo número al azar, esta vez el 528, y para mi sorpresa también resultó ser múltiplo de 11, pues 528/11=48 (supongo que los lectores más avezados habrían sido capaces de reconocer que ambos números son divisibles por 11 antes de teclearlos en la calculadora, pero por fortuna mi legendaria incapacidad para el cálculo rápido ayudó a mantener la sorpresa hasta el final).

Le dije entonces a Mónica que la probabilidad de escoger dos números de tres cifras al azar y que ambos fuesen múltiplos de 11 debía ser bastante pequeña, y por tanto habíamos asistido a un fenómeno cuanto menos curioso.

Una ilusión matemática

Por Javier Oribe para Hablando de Ciencia 

Permítanme que comience haciéndoles una pregunta: de los dos segmentos que aparecen en la figura de la izquierda, ¿cuál es el más largo?

A primera vista parece que el segmento mayor es el B, pero si prestan atención y se fijan bien podrán comprobar como por muchas vueltas que le den el segmento B sigue pareciendo mayor que el A.

Sin embargo, por extraño que les parezca, lo que está llegando a sus ojos es una imagen en la que aparecen dos segmentos que tienen exactamente la misma longitud (compruébenlo aquí),  aunque por culpa de las flechas dibujadas en los extremos lo que vemos es que el segmento de arriba es menor que el de abajo. Y lo más curioso es que seguiremos viéndolo así aunque sepamos que estamos equivocados.

Este conocido ejemplo de ilusión óptica viene como anillo al dedo para ilustrar un curioso problema que nuestro cerebro no es capaz de interpretar correctamente, por lo que podríamos decir que se trata de una especie de ilusión matemática.

Completando la colección: cromos de béisbol, enfermedades y denegación de servicio

OPINIÓN por JOHN ALLEN PAULOS
2 de Octubre de 2011

Lanzar un dado hasta que salen los seis números, tener hijos hasta tener uno de cada sexo y completar la colección de cromos de béisbol son tres ejemplos de un cierto tipo de tareas compartimentadas.

Para completar una tarea de este tipo es necesario realizar varias subtareas. Si las probabilidades de realizar esas varias tareas son las mismas, con algunas matemáticas relativamente sencillas podemos hacernos una idea de cómo de larga o extensa será la tarea completa.

Para ilustrar esto comencemos con un dado. ¿Cuántas veces tiene que lanzarlo como término medio hasta que cada uno de los seis números aparece por lo menos una vez?

Las matemáticas de completar colecciones

Para contestar esta pregunta se necesitan un par de ideas, alguna de ellas bastante sencilla.

Suponga que la probabilidad de que ocurra algún suceso o resultado de interés y que las repeticiones de los intentos de obtener el resultado no afectan a la probabilidad de intentos posteriores. Entonces se puede probar que, como media, necesitaremos 1/p intentos para obtener el resultado.

Esto así suena complicado, así que volvamos al ejemplo del dado. Como lanzar un dado genera aleatoriamente números del 1 al 6, la probabilidad de obtener un número determinado, por ejemplo el 2, es 1/6, por tanto de media necesitaremos 1/(1/6) o 6 lanzamientos para obtener un 2. Por término medio necesitaremos también 6 lanzamientos para obtener un 5 y así sucesivamente. Por el contrario, la probabilidad de obtener un número impar, el 1, el 3 o el 5, es 3/6, luego por término medio necesitaremos 1/(3/6) o 2 lanzamientos del dado para obtenerlo.

Carrera de Peones

Fuente: http://tinyurl.com/6kmujj7

Por Javier Oribe para la edición 2.6 del Carnaval de Matemáticas en La vaca esférica.

Tras ausentarme del Carnaval de Matemáticas durante unas cuantas (demasiadas) ediciones a causa de los estudios, que alguna vez habrá que terminarlos, les voy a proponer un problema que se me ocurrió en una noche de insomnio previa a los exámenes de septiembre.

El problema se basa en el siguiente juego, al que he llamado “Carrera de Peones”: en un tablero de ajedrez, disponemos de un peón colocado en su posición de partida habitual (segunda fila), y se trata de coronar llevando el peón hasta la última fila siguiendo las siguientes normas:

· El peón avanzará tantas casillas como caras obtengamos del lanzamiento de un número determinado de monedas, que suponemos equilibradas.

· Podemos utilizar tantas monedas como queramos, pero una vez escojamos el número de monedas a lanzar no podemos variarlo.

· Hay que llegar a la octava fila con el número exacto de caras que necesitemos para coronar.

· Si sólo obtenemos cruces o bien si sacamos más caras de las que necesitamos para coronar, el peón no se moverá y lanzaremos de nuevo.

Para que quede claro, si escogemos cuatro monedas y obtenemos la siguiente secuencia de caras: 3, 0, 4, 3, ocurriría que:

· 3  ->  movemos el peón a la casilla 5

· 0 ->  no movemos el peón

· 4 ->  como estamos a 3 casillas de coronar, nos pasamos y tampoco movemos el peón.

· 3 -> coronamos.

¿Cuántas monedas escogería para tratar de coronar en el menor número posible de lanzamientos?

Les advierto que se me da bastante mejor inventar problemas que resolverlos, y además estoy de vacaciones, así que tengo planteada una solución pero aún no he resuelto todos los cálculos (y digo una solución porque la que creo haber encontrado no es la solución general del problema, que eso ya es otro cantar).

Cuando la tenga la publicaré, aunque espero que antes alguien dé con la forma de ganarme a una Carrera de Peones.

 

Lo publicó Javier Oribe Moreno en El Máquina de Turing para Carnaval de Matemáticas.

Terminé las vacaciones, así que ya pueden conocer la solución que propongo para la carrera de peones  aquí.