Un problema resuelto de probabilidades

Vamos a resolver el problema que dejé propupesto para el Carnaval de Matemáticas, celebrado en esta ocasión en el blog de Sangakoo, que por cierto he sacado del libro «Cálculo de Probabilidades I», de Ricardo Vélez Ibarrola y Víctor Hernández Morales, editado por la Universidad Nacional de Educación a Distancia.

Un cubo de madera, con sus caras pintadas de rojo, se divide en 27 piezas cúbicas iguales, cortando cada arista en 3 trozos. Se mezclan las 27 piezas y se recompone el cubo a ciegas. Hallar la probabilidad de que el cubo quede con todas sus caras rojas hacia afuera, como estaba inicialmente.

Para empezar, estaremos de acuerdo en que, si disponemos los 27 cubos pequeños al azar, cada uno de diferentes cubos que podemos construir tiene la misma probabilidad de aparecer. Por lo tanto, podemos aplicar la regla de Laplace, que nos dice que la probabilidad de formar un cubo con todos los lados rojos es el número de cubos con todos los lados rojos que podemos formar (casos posibles) dividido entre el número total de cubos que podemos construir (casos favorables).

Comencemos contando los cubos que podemos formar con 27 cubos distintos. Imaginemos que para construir el cubo grande nos apoyamos en un armazón que nos permite colocar cada cubo pequeño en cualquiera de las 27 posiciones posibles, sin necesidad de empezar por las nueve que están más abajo.

Si escogemos un primer cubo pequeño, éste podrá ocupar cada una de los 27 lugares que hay libres. Coloquémoslo en uno al azar y escojamos un segundo cubo pequeño. Ahora éste podrá estar en cualquiera de los 26 lugares que quedan libres, pues el primero ocupa ya uno. Dejémoslo también situado. El siguiente cubo pequeño podrá colocarse en cualquiera de los 25 lugares libres… y así sucesivamente hasta que tengamos el armazón repleto de cubos. Además, por cada una de las 27 posiciones del primer cubo el segundo puede ocupar 26, luego podemos repartir ambos de 27 x 26 formas diferentes, el tercero puede ocupar 25, luego los tres primeros pueden repartirse de 27 x 26 x 25 formas… y así sucesivamente hasta encontrar que el último cubo sólo tiene un lugar al que ir. En definitiva, podemos repartir los cubos pequeños de 27 x 26 x 25 x … x 2 x 1 = 27! formas distintas.

Pero aún no hemos terminado de contar, ya que hemos analizado las posiciones de cada cubo, pero no las diferentes orientaciones que pueden presentar. Imagínense que cada cubo pequeño es un dado. Tenemos que por cada cara del dado que pueda estar hacia arriba (lo que leeríamos como resultado de una tirada) habrá una orientación diferente, lo que suma 6 orientaciones. Pero imaginemos también que el lado superior es el que resulta 4, entonces el lado inferior será sin duda el 3 (los lados opuestos deben sumar 7) , pero ¿y los 4 lados que ocupan los laterales? Sabemos que son el 1, 2, 5 y 6, pero no hay nada que determine que deban ocupar una posición fija, por lo que el dado presenta cuatro orientaciones posibles más por cada una de las seis anteriores. En definitiva, cada uno de los 27 cubos pequeños puede estar orientado de 6 x 4 = 24 formas distintas, lo que nos da un total de 24^27 (24 elevado a 27) orientaciones posibles.

Si multiplicamos esta cifra por 27!, obtenemos que hay aproximadamente 2 x 10^65 formas de construir un cubo grande a partir de 27 pequeños (un dos seguido de 65 ceros, casi nada), cifra que es tremenda e inimaginablemente grande.

Vayamos ahora con los cubos de caras rojas que podemos obtener. El hecho de que el cubo grande deba tener las caras rojas nos permite contar los casos en los que esto puede ocurrir de forma sencilla, únicamente hay que tener mucho cuidado de no dejarse casos atrás.

Comencemos con el cubo que quedó en medio de todos al pintar de rojo el cubo grande. Este cubo no tiene ningún lado rojo, por lo que no debe verse desde el exterior del cubo y por lo tanto sólo ocupa 1 lugar, el central. Además puede orientarse de 24 formas diferentes, luego ya tenemos nuestros primeros 24 casos.

Los cubos situados en los vértices tienen tres caras pintadas de rojo, por lo que en nuestro nuevo cubo sólo podrán ocupar los vértices de nuevo, aunque no tienen porqué estar en el mismo en el que empezaron. Como hay 8 vértices, y haciendo un razonamiento análogo al que hicimos para situar los cubos pequeños en el armazón que formaba el cubo grande, tenemos que el primer cubo puede estar en 8 vértices, el segundo en 7, el tercero en 6… es decir, que podemos distribuirlos de 8! formas diferentes. Como además cada uno de estos cubos puede estar orientado de 3 formas distintas, pues sus tres caras pintadas debe mirar hacia fuera del cubo, tenemos en total 8! x 3^8 casos más por cada uno de los anteriores.

Los cubos situados en las aristas, que tienen dos caras pintadas, ocuparán de nuevo un lugar en una arista. Como hay 12 cubos de estos, y cada uno se puede orientar de 2 formas diferentes (piénsenlo bien), tenemos 12! x 2^12 nuevos casos por cada uno de los que ya hemos calculado.

Y por último nos quedan los cubos que están en medio de las caras del cubo grande, que tienen una sola cara pintada de rojo. Hay 6 cubos de este tipo, y obviamente sólo pueden ocupar uno de los 6 lugares de los que partieron. Además, como sólo presentan una cara pueden estar orientados de 4 formas diferentes, luego los últimos casos que nos quedaban por considerar suman 6! x 4^6.

En definitiva, tenemos 24 x 8! x 3^8 x 12! x 2^12 x 6! x 4^6 = 3,67 x 10^28 formas diferentes de formar nuestro cubo rojo. Parecen muchas, ¿verdad? Pues ya verán cómo es de ridícula la probabilidad de formar uno de estos al azar.

Sólo nos queda aplicar la regla de Laplace, que nos dice que la probabilidad de construir nuestro cubo rojo al azar es de 3,67 x 10^28 / 2 x 10^65 = 1,83 X 10^-37 , o si lo prefieren del 0,000000000000000000000000000000000183 %, si no me he comido ningún cero. Vamos, que es más fácil ver una publicación en Science de Chiquito de la Calzada que formar el cubo rojo confiando solamente en el azar.

Lo publicó Javier Oribe Moreno en El Máquina de Turing para Carnaval de Matemáticas