Dos demostraciones sencillas para alumnos de Bachillerato


Cuando en matemáticas se hace una afirmación de cualquier tipo, como por ejemplo “el cuadrado de la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos” o “si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros  x,  y z tales que x^n+y^n= z^n “, no basta con decir que esto es así porque sí, porque yo lo valgo: hay que demostrar que lo que se dice es cierto.

Cuando un matemático hace un descubrimiento, lo presenta al resto del mundo siguiendo un esquema formal muy claro y bien determinado. Primero, enuncia unas hipótesis, que son una serie de condiciones previas que se sabe que son factibles, después enuncia la tesis, que es el descubrimiento en sí, y tras esto escribe la demostración de la tesis, que son una serie de razonamientos que nos llevan desde la hipótesis hasta la tesis a través de pasos que deben estar siempre bien justificados.

Por ejemplo, en el primero de los enunciados anteriores, el Teorema de Pitágoras, una forma de enunciar la hipótesis sería consideremos un triángulo rectángulo cualquiera, en el cual la hipotenusa mide a y cuyos catetos miden b y c respectivamente.  La tesis sería entonces

a^2=b^2+c^2

y una demostración sería, por ejemplo, la que podemos encontrar cliqueando sobre esta figura:

(Para la segunda afirmación hay una demostración maravillosa pero no tengo espacio suficiente en esta entrada del blog).

Aprender a demostrar es un proceso largo y no extento de de dificultades, pero eso no significa que no se pueda (y se deba) comenzar a demostrar cosas en Bachillerato o incluso en Secundaria. Este curso he decidido hacerlo con mis alumnos de primero de Bachillerato de ciencias naturales y, para comenzar, he escogido dos ejemplos, uno muy sencillo y otro que necesita de un poco más de tino para dar con el camino correcto.

El primero dice:

Si a y b son dos números reales positivos y  a \leq b , probar que el inverso de a es mayor o igual que el inverso de b.

Tenemos dos números cualquiera, de los que sabemos que son reales, que son positivos (entendemos que estrictamente positivos, es decir, que no pueden valer cero), y que el primero es más pequeño o igual que el segundo. Esta sería la hipótesis.

Por otro lado, el enunciado nos propone una relación entre ambos números que afirma que el inverso del primero, que es \frac{1}{a} , es mayor o igual que el inverso que el segundo, \frac{1}{b} , es decir:

\dfrac{1}{a} \geq \dfrac{1}{b}

y esta es la tesis.

Pues bien, el problema consiste en, a partir de la hipótesis, encontrar una forma de llegar a la tesis utilizando las reglas que conocemos. Para ello comenzamos con la desigualdad que sabemos que es cierta por hipótesis:

a \leq b

También sabemos, por hipótesis, que ambos números son estrictamente positivos, luego podemos dividir esta inecuación por el producto de ambos:

\dfrac{a}{ab} \leq \dfrac{b}{ab}

Así, en el primer miembro se nos van las a y en el segundo las b:

\dfrac{1}{b} \leq \dfrac{1}{a}

Si ahora le damos la vuelta a la desigualdad, tenemos que

\dfrac{1}{a} \geq \dfrac{1}{b}

y esta es la tesis que queríamos demostrar.

Como podemos comprobar, técnicamente la demostración es muy sencilla, lo realmente difícil es saber qué estamos haciendo y por qué.

El segundo problema es algo más complicado:

Probar que la semisuma de dos números reales positivos es mayor o igual que la raíz cuadrada del producto de ambos (sugerencia: utilizar que el cuadrado de una diferencia es siempre mayor o igual a cero)”.

Aquí la única hipótesis es considerar dos números a y b positivos, y la tesis, traducida al lenguaje algebraico, sería esta:

\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}

Por suerte, el enunciado nos proporciona una pista diciéndonos que consideremos que (a-b)^2 \geq 0 . Si desarrollamos el cuadrado y despejamos, llegamos a una expresión parecida a la que estamos buscando:

a^2+b^2-2ab \geq 0 \rightarrow \dfrac{a^2+b^2}{2}\geq ab

Estamos muy cerca, pero aún no hemos dado en el clavo, pues a y b están elevadas al cuadrado y ab no está bajo una raíz cuadrada. Es aquí donde hay que tener cuidado con no saltarse las reglas, pues uno puede caer en la tentación de despejar ambos cuadrados como una raíz cuadrada y eso no se puede hacer porque hay una suma de por medio. Tampoco sirve de nada tomar raíces en ambos miembros y hacer que se vayan con los cuadrados, pues eso sería también saltarse las reglas, y por la misma razón.

El truco está en darse cuenta de que lo que necesitamos es reducir los exponentes de a^2 y de b^2 para que aparezcan  a y b , y el de ab para conseguir tener en la expresión final \sqrt{ab}.

¿Cómo lo hacemos? Pues una idea podría ser volver a considerar (a-b)^2 \geq 0 pero reduciendo los exponentes de ambos números para que aparezcan sus raíces cuadraras, es decir:

(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \geq 0

Si desarrollamos esta expresión y reordenamos adecuadamente tenemos que:

(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2-2\sqrt{a}\sqrt{b} \geq 0 \rightarrow a+b\geq 2\sqrt{ab} \rightarrow \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}

Y ahora sí, al fin, hemos logrado llegar a la tesis.

En  esta demostración no se sigue un camino natural desde la hipótesis a la tesis, sino que primero nos acercamos a la solución por un lado y después retrocedemos a un nuevo punto de partida para finalmente alcanzar la solución correcta. Este proceso es, probablemente, lo más difícil de comprender del ejercicio para un alumno de matemáticas de Bachillerato, pues lo habitual es que esté acostumbrado a resolver problemas de forma lineal, dando una serie de pasos que son siempre más o menos los mismos, y sin embargo aquí debe tomar caminos en falso, darle unas cuantas vueltas y volver a empezar desde otro punto de vista.

Pero es que de esto precisamente es de lo que van las matemáticas superiores, de tomar una idea que creemos que es cierta y ver si encaja o no con el resto de la teoría, y es importante que nuestros alumnos de ciencias conozcan estos procesos igual que conocen cómo se trabaja en un laboratorio de física o de química.

Y si no lo hacemos, jamás lograremos que las matemáticas sean consideradas como lo que son: una ciencia en sí misma, y no una mera herramienta al servicio de las demás.

Esta entrada participa en la Edición 6.6: números vampiro del Carnaval de Matemáticas, alojado en el blog Scire Science.

Para saber más:

¿Por qué nos creemos los teoremas matemáticos?

¿Qué es una demostración matemática?

Una curiosa propiedad del 123

Demostración a la bilbaína

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